)JournalofJilinUniversitScienceEditiony(
吉林大学学报(理学版)
Vol.59 No.2
Mar 2021
:/doi10.13413.cnki.dxblxb.2020255jj
广义二次矩阵与其幂等矩阵
线性组合幂等性的非平凡解
()1.莆田学院数学与金融学院,福建莆田351100;2.福建师范大学数学与信息学院,福州350007
陈梅香1,叶铃滢2,杨忠鹏1
摘要:首先,用广义二次矩阵的基本性质,研究表示为A2=αA+P的广义二次矩阵A与幂β22
等矩阵P的线性组合ρ的存在性,结果表明,当ηA+σP为幂等的非平凡解(σ)=4α≠0ρ,β+时,A+σP有且仅有两个非平凡解,A可唯一地表示为这两个非平凡解生成的幂等矩阵的线ρ22性组合;其次,讨论当η=4α=0时ρA+σP非平凡解的情况.β+
关键词:广义二次矩阵;幂等矩阵;幂零矩阵;线性组合;非平凡解
()中图分类号:O151.21 文献标志码:A 文章编号:1671-54202102-0221-08
NontrivialSolutionsofIdemotencfLinearCombinationsofpyo
GeneralizedQuadraticMatrixandItsIdemotentMatrixp
(1.SchooloathematicsandFinance,PutianUniversitPutian351100,FuianProvince,China;fMy,j2.ColleeoathematicsandInormatics,FuianNormalUniversitFuzhou350007,China)gfMfjy,
121
CHENMeixianYELininYANGZhoneng,gyg,gpg
2
matrixAandanidemotentmatrixPexressedasA2=αA+P.Theresultsshowthatwhenppβη=4β+2
,α≠0,A+σPhasonlwonontrivialsolutionsandthematrixAcanbeuniuelxressedasaytqyepρ:,b,wAbstractFirstlsinhebasicproertiesofgeneralizedquadraticmatricesestudiedtheyyugtp
existenceofthenontrivialsolution(σ)forthelinearcombinationρA+σPofgeneralizedquadraticρ,
,wlinearcombinationofidemotentmatrixgeneratedbhesetwonontrivialsolutions.Secondlepytynontrivialsolution
22discussedthecasefornontrivialsolutionofA+σPwhenη=4α=0.ρβ+
:;;;;Kewordseneralizedquadraticmatrixidemotentmatrixnilotentmatrixlinearcombinationgppy
1 引言与预备知识
[][]-4
均为广Farebrother等1给出了广义二次矩阵的定义,常见的幂等矩阵、对合矩阵、二次矩阵2
(义二次矩阵的特例.设ℂn×n为复数域ℂ上n×和t分别表示矩阵A∈ℂn×nn矩阵的集合,用r(A)rA)
的秩和迹,用E在不易混淆的情形下用E表示)n单位矩阵(.n表示n×
2
)对给定的幂等矩阵P(=P≠0∈ℂn×n,如果存在α,β∈ℂ,使得A2=αA+βP, 且AP=PA=A,
()1
收稿日期:2020-08-31.
,男,汉族,教授,从事矩阵理论及其应用的研究,:作者简介:杨忠鹏(1947—)E-mailanzhonen@126.com.yggpg
))基金项目:国家自然科学基金(批准号:和福建省自然科学基金(批准号:61772292;118714042018J01426.
,女,汉族,博士,副教授,从事矩阵理论及其应用的研究,:第一作者简介:陈梅香(1982—)E-mailcmxmath@126.com.通信
222 吉林大学学报(理学版) 第59卷
)则称A为由P和α,的矩阵集合记为1β确定的广义二次矩阵.满足式(
α,β∈ℂ
σ=
]n×n21
关系密切[Ψ={.Q∈ℂQ=Q}
[]122-1
命题1的广义二次矩阵,且η 设A∈ℂn×n是满足式(1)=4β+α≠0,则当复数ρ=η且
文献[研究了两个幂等矩阵线性组合的幂等性.广义二次矩阵与所有幂等矩阵的集合5-8]
1(时,1-α)A+σP∈Ψ.ρρ2
22
]由文献[中定理6及证明知,在约束条件η1=4α≠0下,命题1给出了ρA+σP是幂等的β+),如果ρ=0,则ρ))命题2 设A∈ℂn×n满足式(或(1A+σP∈Ψ当且仅当(σ)=(0,00,1.ρ,
2
证明:充分性显然.只需证明必要性.由ρ及σA+σP=σP=(σP)P的不同特征值为0或1知结论
,ΩP;α,A∈ℂn×nA2=αA+βP,AP=PA=A}={n(β)
ΩP)P;α,.=∪Ωn(n(β)
()2
()3
22
]一个充分条件.文献[研究表明,当η1=4α=0时,2A-αP是幂零的,但未讨论一般ρA+σP∈Ψβ+
的情形.
成立.证毕.
22
),),且相应的ηΩP;0,1ΩP;0,-1=4α≠0.表1列出了这些特殊二次矩阵的ρA+σP∈Ψ的n(n(β+
非平凡解.
())()或(称为ρ其中ρ≠0称为ρσ)=(0,00,1A+σP∈Ψ的平凡解,(σ)A+σP∈Ψ的非平凡解.ρ,ρ,
]例1 由文献[知,满足A2=A,1A2=-A,A2=P,A2=-P的A分别为幂等、斜幂等、广义对
),()]),),合、斜广义对合矩阵.由式(和文献[中引言知,这些矩阵分别属于Ω121P;1,0ΩP;-1,0n(n(
]表1 文献[中一些特殊二次矩阵的ρ1A+σP∈Ψ的非平凡解(σ)ρ,
2
广义对合矩阵A=P1,124
2
斜幂等矩阵A=-A]Table1 Nontrivialsolutions(σ)ofsomesecialuadraticmatricesA+σP∈Ψinreference[1pqρ,ρ矩阵类型(σ)ρ,
2
幂等矩阵A=A22
也是ρ 当A2=-A时,(σ)=(-1,0)A+σP∈Ψ的非平凡解.表明当η=4ρ,β+α≠0时,由
]文献[中定理6不能得到ρ1A+σP∈Ψ的所有非平凡解.
()1,0
()
()1,1
2
广义斜对合矩阵A=-P1,-i02
()
,其中α=a+的定义与文献[中式(A2-(a+b)A+abP知A∈ΩP;α,b,b.故式(4)1]1)n(β)β=-a等价.考虑形如
((()A-aP)A-bP) AP=PA=A,4=0,
[-211]
)(则称A是由给定的幂等矩阵P(和a,=P≠0b∈ℂ确定的广义二次矩阵9.由(A-aP)A-bP)=
[]9
)命题3是式(意义下的由a所确定的广义二次矩阵, 设QP)4babi=1,2)i∈Ωn(i,i(i≠i∈ℂ,
如果
的Q1,2的线性组合.Q,((,则式()可交换,(中的Q1)如果Q≠bP)≠bP)abbP)≠(abbP)51(12(22-2)1-11-1)2-2QQQ()(ii2cc2cλ-μ=0,cc2cλ-μ)+(cλ)c=0,PPPPPPi+3-i(i+3-3-3-12=12≠i,且j+j,μ)
(((,),);或(cλ)cPP)=0,这里(i=(1,2i=(2,13-3-i-j)j)μ)()((iiicc2cλ-+(cλ)c=0,PPPi=1,2,PP0,且(cλ)c×i(i+3-3-3-12≠i,12≠3-3-μ)μ)μ)(PPP)=2ccPP1+2-1212.
)如果Q)中的Q∈Ω为由λ,25P)12≠21,则式(n(2+QQQμ确定的广义二次矩阵当且仅当C1+C(()Cλ)CP-CCPPP=0,3-3-μ12(1+P2-P12-P21)
)为由λ,式(意义下)当且仅当下列条件之一成立:4μ所确定的广义二次矩阵(())(,,,,且()((;icc2cλ-+(cλc=0i=12PP0cλcPPP)=0i(i+3-3-3-12=3-3-1+2-μ)μ)μ)
rr rr11+22,1,2∈ℂQ=QQ()5
2Cλ+3=μ,且
第2期 陈梅香,等:广义二次矩阵与其幂等矩阵线性组合幂等性的非平凡解 223
-1
,,这里CrabPabbP)i=1,2,且Crbrbi=i(i-i)i=(i-i)(i-i3=11+22.Q2
,相当于式(,意义下由aP-P=P(P-P)=0=QbP)4)b2(2-22=02=1所确定的广义二次矩阵Q]的范围外.P=bP,但不满足命题3的条件.说明命题1所讨论的ρA+σP∈Ψ在文献[92=2Q22
(,寻找ρ由例1知,对A∈Ω其中ηP;α,=4α≠0)A+σP∈Ψ所有的非平凡解是有意义n(β)β+
]]的.文献[将文献[中定理2.9121二次矩阵的结论推广到广义二次矩阵,得:
),(由式(知,其相当于命题1中A=Q知,5P=Q1)2)P=PA=Q1,2;由式(12=A21,且QQQ]文献[指出了关于广义二次矩阵A∈Ω与幂等矩阵P的线性组合ρ1P;α,A+σP为幂等矩阵研n(β)
究的重要性,并列出了幂等矩阵、广义对合矩阵等特殊二次矩阵ρA+σP∈Ψ的部分非平凡解,但未讨
);1A∈ΩP;a+b,-ab)n(
)存在X,2Y∈Ψ,使得A=aX+bY,X+Y=P且XY=YX=0.
[]9
(命题4 设A∈ℂn×n,a≠b∈ℂ,满足(A-aP)A-bP)=0,则下列叙述等价:
22
2 α≠0时ρA+σP∈Ψ的非平凡解η=4β+
22
/)A可唯一地表示为这两个非平凡解生成的幂等矩阵的线性组合;当η=4α=0时,如果A=(α2P,β+
/)则ρA+σP∈Ψ有无穷多个非平凡解;如果A=(α2P,则ρA+σP∈Ψ无非平凡解.
]论一般的ρ考虑了两个广义二次矩阵线性组合的广义二次性,但条件A+σP∈Ψ的情况.文献[9
]较多,而且命题1所讨论的ρ的范围外.因此ρA+σP∈Ψ被排除在文献[9A+σP为幂等的所有非平凡
22
解研究目前尚未见文献报道,本文证明:当η=4α≠0时,A+σP∈Ψ有且仅有两个非平凡解,且β+ρααæööæöö11æ11æ11,,-+ç÷÷,ç-ç÷÷.(,)çσ=22ρ222244èèβ+αøøèβ+αøø4è4β+αβ+α为ρ 证明:设(σ)A+σP∈Ψ的任一非平凡解,ρ,ρ≠0,
2222
A+σP=(A+σP)αA+βP)σA+σP,=+2ρρρ(ρ)由式(得7
222
A+σP=(ασA+(P.ρρ+2ρ)βρ+σ)
222
])类似文献[中定理1的证明和式(知,18ασσ=σ,则ρ+2ρ=ρ且βρ+
22
ασ-1=0, σ-σ+ρβ=0.ρ+2
22,定理1 设A∈ΩP;α,α≠0,则ρA+σP∈Ψ有且仅有如下两个非平凡解:n(β)η=4β+
()6()7()8()9
122
当α=0时,由式(得σ=1且ρ9)=.由4+α≠0可得ρ=±ββ24
σ=
αö1æ1-),代入式(中第一个等式得σ=1(中第二个等式即ç÷.当α≠0时,由式(91-α9)ρ)2
2è24αøβ∓
))可解得由式(构成方程组的解为式(96.表明此时ρA+σP∈Ψ至多有两个非平凡解.
αæ1öö1æ21-,ç÷÷代入式(,)),可验证此时(将(çσ=7A+σP)=A+σP.类似地,将ρρρ2224+αèøαè4øββ+æè
ç-
1=±4β1,此时
2
4αβ+
ααæö21-++ç÷=α2σ+=ρρρρ,22
44èβ+αβ+αø
2
2αααö1æö1æ22β1+1++ç÷=ç÷=σ,2βρ+σ=4α2+224α+42β+4α4αèøèø++βββ))又由式(知ρ的(都是非平凡解.证毕.7A+σP∈Ψ,即式(6σ)ρ,
αöö11æ1+,ç÷÷代入式()的右边得82224+αèø4+αøββ222
,则定理1可简单地表示为:当η=4α≠0时,不妨设η=4αβ+β+2
,推论1 设A∈Ω是ρP;α,σ)A+σP∈Ψ的非平凡解⇔(σ)=n(β)η=4β+α≠0,则(ρ,ρ,
224 吉林大学学报(理学版) 第59卷
æ11öæ1,öæ11ö(,,0÷.事实上,若A2=P=E,(σ)=ç,÷,(σ)=ç-iσ)=ç,÷,则ρ,ρρè24øè2øè24øæ1,ö若A2=-P=-E,(0÷,则σ)=ç-iρ,è2ø
112
(A+σE)4A+5E)≠(2A+E)A+σE.=(=ρρ1
112
(A+σE)A=A+σE.=E≠-iρρ42
αööæαööæ1,1æ11æççç
1-÷÷,1+÷÷.-,ç
èη2èηøøèη2èηøø
例2 由表1可见:当A是广义对合矩阵、广义斜对合矩阵时,A+σP的非平凡解分别为ρ]因此,文献[给出的相应结论是不准确的.1
下面由定理1给出相关特殊矩阵线性组合幂等性的所有非平凡解.
的非平凡解如表2所示.
,则当A分别为幂等、广义对合、斜幂等、广义斜对合矩阵时,推论2 设A∈ΩP)A+σP∈Ψn(ρTable2 Nontrivialsolutions(σ)ofsomesecialquadraticmatricesA+σP∈Ψobtainedbtheorem1pyρ,ρ表2 由定理1所得一些特殊二次矩阵的ρA+σP∈Ψ的非平凡解(σ)ρ,
2
广义对合矩阵A=P2
斜幂等矩阵A=-A矩阵类型(σ)ρ,
2
幂等矩阵A=A(),()1,0-1,1
22
),),),),均有η 证明:此时A分别属于Ωn(P;1,0ΩP;0,1ΩP;-1,0ΩP;0,-1=4α≠0.n(n(n(β+2222
)由定理1知,这些矩阵均有且仅有两个非平凡解,且分别有η=1,6η=4,η=1,η=-4.应用式(
可知,相应的所有非平凡解如表2所列.证毕.
[13-15]2
)(引理1 设P(=P≠0∈ℂn×n,则r(P)=trP).
22,)定理2 设A∈Ω的两个非平凡解ρ分别记为P;α,α≠0,式(6A+σP(∈Ψ)n(β)η=4β+
1,1,1,-(1)(2222)
(),()1,1-1,0
2
广义斜对合矩阵A=-P1,1,1,ii(-1)(2222)
P1=
则
ααöö1æ11æ1-1+ç÷P,ç÷P,A PA+=-+22222224α4αèøèø++ββ44β+αβ+α1()10
)),1PΩP;1,0i=1,2;i∈n()2PPP;1+2=
)3PPPP0;12=21=)4PP1≠2;
22α+4αα-4+αβ+β)5A=P+P12;
22
)6r(P)=r(P+r(P.1)2)
)),知PPP=PPP1ΩP;1,0i=1,2.22=2.由式(i∈n(
)由式()计算得210
2
)由定理1知,式(证明:中P110)PPi=1,2,且PP=PP1,2∈Ψ,i=Pi+0·P,11=P1,
αéöù11æê1-ç÷Pú+A+P=P1+P2=2ê224αèβ+øúë4ûβ+α)由式())和式(知 3110
αéöù11æê-1+ç÷Pú.A+2ê224αèβ+øú4ëûβ+αααéöùéöù11æ11æê1-1+ç÷Púê-ç÷Pú=AA++PP12=22êúê22224α4αèèβ+øûëβ+øú4ë4ûβ+αβ+αααö4-4æ1æβöç÷çβ÷
-0.2+2A+2P=è44è4β+α4β+αøβ+αø
第2期 陈梅香,等:广义二次矩阵与其幂等矩阵线性组合幂等性的非平凡解 225
同理PP0.21=
1ααöö1æ11æ1-1+ç÷P=Pç÷P,APA+==-+1222222244èèβ+αøβ+αø44β+αβ+α22αα222
于是A=αP,从而P=A=αA+P=P+P,即α+4=0,与已知η≠0矛盾.因此PP1≠2.βββ242
)由式()得510
22α+4α-4+αPA1(β+αPβ2α-2α)P=A.+1+2=
224
)由1)和引理1知 6
((((r(P)trP)trPtrPrPr(PP.===+t=+r(1+P2)1)2)1)2)
证毕.
)反证法.若P)得4P101=2,则由式(
22),其中η1A∈ΩP;α,=4α≠0;n(β)β+)存在X,2Y∈Ψ,满足X+Y=P,XY=YX=0,并使得
引理2 设A∈ℂn×n且AP=PA=A,则下列叙述等价:
其中
22
α4αα4αA=+β+X+-β+Y,
22
()11
22
()α+412β+α≠α-4β+α.
)⇒2))),,确定了式(中P知 证明:1.式(610)PPY=P3)5)1,2∈Ψ.取X=1,2,由定理2中2
)式(成立.11
1(1222
α+4α-4+α)-(+α)=4+α,βββ22
)因此结合式(和X+11Y=P,得
1222))))知η2⇒1.由式(12=4α≠0.不妨设(α+4+α≠0.由于β+β2
即
22æöα-42α+α4α-+ββç÷X=X,A-P+222èøα+4α+4β+αβ+α2æα-4β+αPö()ç÷.13A-22ø4β+αè
2
进一步计算可得X2=X∈Ψ,且XP=PX=X,从而有Y2=(P-X)=P-X=Y,且YP=PY=Y.
)由于X,有Y∈Ψ,X+Y=P,XY=YX=0,结合式(13
X=
1
22æö2
α4αα4α++-+ββA-αA-βP=çX+Y÷-22èø2
22
,进而得η即A∈ΩP;α,=4α≠0.证毕.n(β)β+2
2
22æα+4β+αX+α-4β+αYö÷-αçP=β22èø
X+βY-βP=0,β))与引理2的1等价.a-b)≠0,即命题4的1η=(
22,引理3 设A∈ΩP;α,α≠0,则引理2中的n(β)η=4β+)这里PP10.1,2定义如式(
)(,其中α=a+由式(知,若(4A-aP)A-bP)=0,则有A∈ΩP;α,b,b.由a≠b,有n(β)β=-aX=P Y=P1,2,()14
226 吉林大学学报(理学版) 第59卷
))证明:由式(和式(得1013
X=
)再由式(得11
2αæö11æα-4β+αPö1-ç÷=ç÷P=PA+1,A-222224øèβ+αø44β+αèβ+α1
Y=P-X-证毕.
αö1æ1+ç÷P=PA+2.2224αèø+β4α+β1由上述讨论,并应用引理2和引理3可得改进命题4如下:命题5 设A∈ℂn×n,AP=PA=A,则:
223 α=0时ρA+σP∈Ψ的非平凡解η=4β+
22α+4αα-4α++ββA=X+Y,
22
)且X,生成的幂等矩阵PY分别由两个非平凡解式(6P1,2唯一确定.
22
),)成立;1A∈ΩP;α,α≠0⇔式(11n(β)η=4β+
22
)若A∈Ω,2P;α,α≠0,则n(β)η=4β+
下面讨论总设A≠0.
[6]k(如果有正整数k使得Ak-1≠0,而A=0,则称k为幂零矩阵A的幂零指数,记为indA)=k1.222
,(引理4 设A∈ΩP;α,α=0,则(2A-αP)=0,ind2A-αP)≤2,且n(β)η=4β+
12,因此结合式()22
证明:由于η=4α=0⇔β=-α1知,此时β+4
0=A2-αA-βP=
αα((ind2A-αP) ind2A-αP)=1⇔A=P,=2⇔A≠P.
22()15
1[2122
]4A-2α(2A)αP)2A-αP).+(=(
44
()由幂零指数定义知i成立.证毕.nd2A-αP)≤2;进一步知式(15
22
],引理4精细化了文献[中“结论,且知当A∈Ω12A-αP是幂零的”P;α,α=0时,n(β)η=4β+讨论A=αP和A≠αP两种情形即可.
22
αö1(æ,ρæ,ö÷,,如下无穷多个非平凡解:(且ρ-÷,且ρ2-α)σ)=çA+σP=0;(σ)=çA+σP=P.ρρρρ,ρ2øèè2ø
证明:由A=αP可得
22
α2σæö+α+2σ,ρρç÷(A+σP)=P, A+σP=Pρρè2ø2
2
α22
,))定理3 设A∈Ω时,∀P;α,α=0,则当A=P(≠0≠0∈ℂ,A+σP∈Ψ有n(β)η=4β+ρ(ρ2
α+2σ)故由式(知ρ15A+σP∈Ψ⇔ρ=0或1.2
σ=
1(α1ρ且ρ2-α)A+σP=P+(2-α)P=P.证毕.ρρ222αραöæαρ当ρ-÷P=0;当ρα+2σ=0时,由A≠0知α≠0,则σ=-ρ且ρA+σP=çα+2σ=2时,
è22ø2210-2öæ2-1æ-5
ç÷ç-20221ç1ç-1÷和]例3 由文献[中例3知,11A1=çA2=3-2-683ç-12÷ç÷ç
2øè-2-68è-1
-6
5-1ö
÷
-611÷
均为÷-3-21÷
-34-5ø
第2期 陈梅香,等:广义二次矩阵与其幂等矩阵线性组合幂等性的非平凡解 227
2æ
ç1
二次矩阵,且P=1ç
3ç1ç1è
6-5
33()A=-A1-A2=3P.16
4222
)则A2=6且ηA-9P∈Ω4(P;6,-9=4α=0,即A满足定理3的条件,因此ρA+σP∈Ψ有无穷多β+)个非平凡解,即∀且ρ≠0∈ℂ,(σ)=(1-3A+σP=3P+(1-3P=P,或(σ)=(-3ρ(ρ,ρ,ρ)ρρ)ρ,ρ,ρ)
且ρA+σP=0.
1ö
÷
3-1-1÷
是幂等的.经计算得AP=PA=A,且
3-1-1÷
÷
3-42ø
æEöæAör0r02rr×
÷V,÷V,PV-1ç r(P)r; A=V-1ç A.=P==r∈ℂ
è00øè00ø
)()由引理4及其式(知i得15nd2A-αP)=2,即A是二次幂零的,再结合式(17
(2A-αP)=V2
1-2
æ(2AαEr)0ör-2ç÷V=0⇔(2AEr)=0,r-a00øè
α22
,定理4 设A∈ΩP;α,α=0,则当A≠P时,A+σP∈Ψ没有非平凡解.n(β)η=4β+ρ2
]]证明:由文献[中定理1.中引理1.91的证明或文献[171知,此时有可逆矩阵V,使得
()17
α为中至少有一个二阶AAordan标准形Jr的最小多项式.表明x=r的r重特征值,且Ar的JAr2
Jordan块,因此存在可逆矩阵Wr,使得(,使得于是有可逆矩阵U=WV,W=diaWr,Egn-r)
/α20öæαæö1-ç÷,…,,ç÷∈ℂ2×2.HHEAWrJArWr, Jdia Hr2k,-==gr=Arè︸2ø/2øè1αk2
αöæα2ç÷():()且2又由引理和式知且为AαEr≠0.415A≠P⇔2AαEr≠02AαEr=0⇔x-r-r-r-2øè2A=V1-
ErWr0öæEöæWrr01-()(,÷V=÷V=(P=V-1çV-1çWV)diaE0WV)gr,
è00øè00ø
即从而
(,)()A=U-1diaJ0U, P=U-1diaE0U, r(P)r,=ggAr,rWr0öJ0öæWr-1JæAAæAör0rr11--(),÷V=Wç÷(ç÷V=VçVWV)è00øèè00ø00ø
由
α+2σæöρ…,H+σE2,H+σE2,E0÷U.A+σP=U-1diar2k,-gçρρρ2èø
2
()18
ö
÷,
(H+σE2)=çρèρ)对式(做乘方运算,并对比元素知18
/α+2σ)2æ(ρ=ç
()/α2σ2øα+2σ)èρ(+ρρ÷
0
ö2
2
(/]æ[α+2σ)2ρ2
[(/]α+2σ)2øρ0
()19()20
2α+2σæöα+2σ,因此的ρç÷由于ρ≠0,因此ρ(α+2σ)=α+2σ=1,但ρα+2σ=1不满足=ρσρρ,即ρè2ø2
)方程组(无解,从而ρ20A+σP∈Ψ没有非平凡解.证毕.
2
α+2σöæα+2σ且(2ρρç÷()A+σP=A+σP⇔α+2σ)==ρρρρρ.è2ø2
1-85öæ1-96öæ
ç÷ç÷11[10]22
例4 设P=ç-112÷,B=ç1-107÷,则BP=PB=B,P=P,(B-P)=0,
4ç2÷ç÷
2-1913øè-1-36øè
228 吉林大学学报(理学版) 第59卷
α222
)即B且η=2B-P,B∈Ω3(P;2,-1=4α=0.由B≠P=P和定理4知ρB+σP没有非平凡解.β+2
参
410:244-253.
考文献
[],1] FAREBROTHERRW,TRENKLERG.OnGeneralizedQuadraticMatrices[J.LinearAlebraAl2005,gpp[],2] ALEKSIEJCZYKM,SMOKTUNOWICZA.OnProertiesofQuadraticMatrices[J.MathPannon2000,p[]3] UZDEMIRH,ÖZBANAY.OntheQuadraticitfLinearCombinationsofQuadraticMatrices[J.ÇM,Öyo[],):理学版)4] 吕洪斌,杨忠鹏,陈梅香,等.二次矩阵广义Jordan积秩的不变性[J.吉林大学学报(2017,55(6
¨1416-1424.(LUHB,YANGZP,CHENMX,etal.InvarianceofRankforGeneralizedJordanProductsof[5] BAKSALARYJK,BAKSALARYOM,STYANGPH.IdemotencfLinearCombinationsofanIdemotentpyop
]),():)QuadraticMatrix[J.JournalofJilinUniversitScienceEdition2017,5561416-1424.y(,():LinearMultilinearAlebra2015,6361125-1137.g():112239-248.
],(//):MatrixandaTriotentMatrix[J.LinearAlebraAl2002,35412321-34.pgpp
'
ˇ[,R]6] KOLIHAJJAKOCEVICV.TheNullitndRankofLinearCombinationsofIdemotentMatrices[J.yap[,WON,7] GAUHL,WANGCJGNC.InvertibilitndFredholmnessofLinearCombinationsofQuadraticya],():kPotentandNilotentOerators[J.OerMatrices2008,22193-199.ppp-[8] ÖZDEMIRH,SARDUVANM,ÖZBANAY,etal.OnIdemotencndTriotencfLinearCombinationsofpyapyo[9] PETIKT,UZDEMIRH.GeneralizedQuadraticitfLinearCombinationofTwoGeneralizedQuadraticÇM,Öyo[]10 PETIKT,ÖZDEMIRH,BENÍTEZJ.OntheSectraofSomeCombinationsoftwoGeneralizedQuadraticp[]11 UETIKT,ÖZDEMIRH.TheGeneralizedQuadraticitfLinearCombinationsofTwoCommutinÇM,Pyog[]]12 ÖZDEMIRH,PETIKT.OntheSectraofSomeMatricesDerivedfromTwoQuadraticMatrices[J.Bullp[]:,13 ZHANGFZ.MatrixTheorBasicResultsandTechniues[M].2nded.NewYork:Sriner2011:130.yqpg
,():IranianMathSoc2013,392225-238.
],():QuadraticMatrices[J.LinearMultilinearAlebra2016,91696-1715.g],Matrices[J.AlMathComut2015,268:978-990.ppp
],():Matrices[J.LinearMultilinearAlebra2015,63122430-2439.g
],():TwoCommutinriotentMatrices[J.AlMathComut2009,2071197-201.gTpppp,():LinearAlebraAl2006,418111-14.gpp
[]14 CHENMX,CHENQH,LIQX,etal.OntheOenProblemRelatedtoRankEualitiesfortheSumofpq
///doi.or10.11552014702413.g
/,[]://FinitelanIdemotentMatricesandItsAlications[JOL].SciWorldJ2014-07-102014-07-15.httsyMypppp
[]],15 PETIKT,ÖZDEMIRH.SomeRankEualitiesforFinitelanriotentMatrices[J.BullIranianMathSocqyMyTp[]:,:16 HORNRA,JOHNSONRC.MatrixAnalsis[M].2nded.CambrideCambrideUniversitress201338.yggyP
():2017,4351479-1493.
[]]17 吕洪斌,杨忠鹏,陈梅香,等.矩阵方程A+X=AX广义三次矩阵解与绝对值方程的解[J.吉林大学学报
]toMatrixEuationA+X=AXandSolutionstoAbsoluteValueEuation[J.JournalofJilinUniversitScienceqqy(),():)Edition2020,583498-506.
(,():理学版)2020,583498-506.(LÜHB,YANGZP,CHENMX,etal.GeneralizedCubicMatrixSolutions
(责任编辑:赵立芹)
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容