大学物理第三章

第3章 习题

一、填空题

跨过定滑轮的细绳下端系质量为m的物体，在物体以g/4的恒定加速度下落一段距离h的过程中，绳的拉力对物体做的功为

g的恒定加速度下落一段距离h的过程。设初速率为vP，末速率vQ满足 4g22（3-1） vQvP2as2h

4rrr物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用，合外力F做功为

考察物体以

rrQrrQrrAFdrmgdrTdrAmgAT

QPPP（3-2）

注意到重力是保守力，其做功为

AmgEpQEpP(mghQmghP)mghPhQmgh

对物体使用动能定理，有

（3-3）

1212122AEkQEkPmvQmvPmvQvP

2223ATmgh

4

（3-4）

联立（3-1）～（3-4），可求出绳的拉力对物体所做的功为

高100m的瀑布每秒钟下落1200m水，假设水下落过程中动能的75％由水力发电机转换成电能，则此发电机的输出功率为 。

依题设，每秒钟有质量为

3mV1.0103kgm31200m31.2106kg

的瀑布水下落。取水和地球为系统，在水从瀑布最高点下落h的过程中，系统机械能守恒，有

Ekmgh

经水力发电机转换后的电能为

Emgh75%1.21069.810075%8.82108(J)

由于以上电能是每秒钟产生的，所以发电机的输出功率为

E8.82108P8.82108(W)

t1

质量为1000kg的汽车以36km/h的速率匀速行驶，摩擦系数为。在水平路面上行驶发动机的功率为 。

小车的速率

v36kmh36小车匀速行驶，故

1000m10ms1

3600sPFvfvmgv0.1010009.8109.8103(W)9.8(kW)

以恒定速率拉一小船所需的力与速率成正比，使该小船速率达到1.2m/s所需的功率为N1，使小船速率达到3.6m/s所需的功率为N2，则N2是N1的 倍。

依题意，设以恒定速率拉船所需的力F与速率v满足如下关系

Fkv

其中k为一常数。所需的功率为

PFvkv2

所以

2N2vv23.69 N1vv11.2

速度为v0的子弹射穿木板后，速度恰好变为零。设木板对子弹的阻力恒定不变，那么，当子弹射入木板的深度等于木板厚度的一半时，子弹速度的大小为 。

以质量为m的子弹为对象，考察子弹以初速v0从与厚度为d木板相碰至恰好射穿的过程，设木板对子弹的平均阻力为f，依据动能定理，可知

2221212fd0mv0

2现考察子弹从木板相碰至射入木板的深度为木板厚度的一半（设此时子弹的速率为v）的过程，仍然对子弹使用动能定理，有

fd1212mvmv0 222由以上两式，可解出所求子弹速率为

v

v0 2质量为100kg的货物平放在卡车车厢底板上，卡车以4m/s的加速度起动，4秒内摩擦力对该货物所做的功为 。

考察货物自静止开始随汽车匀加速运动4秒内的过程，显然，初速率vP0ms，而4秒末的速率为

12vQvPat04416(ms1)

rrr在该过程中，货物受到3个力的作用，即：重力mg，车厢底板对它的支持力N和静摩擦力f，对货物

r使用动能定理，合外力F做功为

QrrQrrQrrQrrQrrrrAFdrmgdrNdrfdrmgvdtNvdtAfAf

QPPPPPP所以摩擦力做功为

AfAEkQEkP1.28104(J)

121211mvQmvP10016210002 2222以200N的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了5.0m。若小车的质量为100kg，小车运动时的摩擦系数为，则小车的末速为 。

考察小车从静止出发至行驶5m的过程，小车受到四个力的作用，分别为：重力mg,地面的支持力N和

rrr摩擦力f，还有推力F。由动能定理，有

1AAmgANAFAfAFAfEkQEkPmv20

2而

AFFs 和 Affs

其中摩擦力

fmg

所以小车的末速为

F200v2gs20.109.85.03.2(ms1)

m100

从轻弹簧原长开始，第一次拉伸l，在此基础上，第二次再拉伸l，继而，第三次又拉伸l，则第三次拉伸弹簧与第二次拉伸弹簧弹力所做功之比为 。

由于弹簧的弹性力是保守力，其做功为

1212A(EpQEpP)kxQkxP

22第一次拉伸l的过程，xP0，xQl，弹性力做功为

11212A1kxQkxPkl2

222在此基础上，第二次再拉伸l的过程，xPl，xQ2l，弹性力做功为

31212A2kxQkxPkl2

222继而，第三次又拉伸l的过程，xP2l，xQ3l，弹性力做功为

51212A3kxQkxPkl2

222所求第三次拉伸弹簧与第二次拉伸弹簧弹性力所做功之比为

52klA352 A23kl232

功的大小不仅与物体的始、末位置有关，而且还与物体的运动路径有关，这样的力称 。

非保守力

有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m的小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触，再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止。在此过程中外力所作的的功为 。

考察小球，地球和弹簧组成的系统，对题设的过程应用功能原理，有

1A外=E(Q)E(P)kx2

2又

kxmg

可解出

A外=

1(mg)2 2k以初速率v0将质量为9kg的物体竖直向上发射出去，物体运动过程中受空气阻力而损耗的能量为

680J。如果不计空气阻力，则物体上升的高度将比有空气阻力时增加 。

如果不计空气阻力，设物体能达到的高度为H0。今取物体，地球为系统，在物体自初速率v0发射（P态，设高度为0）至最高点（Q态）的过程中，该系统机械能守恒，有

12mv0mgH0 2同样的过程，考虑到空气阻力f，设物体能达到的高度为H，对物体应用动能定理，有

12 AAmgAfEkQEkP0mv02因重力是保守力，它在此过程对物体做功

Amg(EpQEpP)(mgH0)mgH

由以上三式，可得

HH0Afmg

所求没有空气阻力时物体上升的高度将比有空气阻力时增加

HH0H

Afmg6807.7m

99.8质量为m的质点沿竖直平面内半径为R的光滑圆形轨道内侧运动，质点在最低点时的速率为v0，使质点能沿此圆形轨道运动而不脱离轨道，v0的值至少应为 。

当物体运动至最高点时，其受力情况如图3-1所示，设此物体的速率为v，则有

v2Nmgm

R质点能沿此圆形轨道运动而不脱离轨道的条件为轨道对物体的作用力

N0

取物体，圆形轨道和地球为系统，在物体从最高点运动至最低点的过程，该系统机械能守恒，可知

1212mvmg(2R)mv0 图3-1 22由以上三式可求出

v05gR

一皮球从2.5m高处自由落下，与地面碰撞后，竖直上跳，起跳速率为落地速率的3/5，不计空气阻力，皮球跳起能达到的最大高度为 。

取皮球，地球为系统，在皮球自高度为H02.5m自由下落至刚触地（设此时皮球速率为v0）的过程中该系统机械能守恒，有

12 mgH0mv02再考察皮球自地面起跳（此时皮球速率为v然守恒，有

3v0）至最高点（设高度为H）的过程，该系统机械能仍512mvmgH 2由以上两式，可求出皮球跳起能达到的最大高度为

v3HH02.50.9(m)

5v0

二、选择题

22一个质点在几个力同时作用下的位移为r(6i5j4k)m，其中一个力F(9i5j3k)N，则

这个力在该位移过程中所做的功为：（ ） A. 因为

91J B. 67J C. 17J D. 67J

rrrrrrrrAFr9i5j3k6i5j4k67(J)

选B。

质量为m的物体置于电梯底板上，电梯以加速度g/2匀加速下降距离h，在此过程中，电梯作用于物体的力对物体所做的功为：（ ） A.

mgh B. mgh C.

11mgh D. mgh 22rr人受到两个力的作用，分别为重力mg和电梯地板对他的支持力N。

法一：因人随电梯相对于地面匀加速下降，故

mgNm可知

g 21mg，方向竖直向上。 2在人下降h的过程中，支持力做功为

1ANNhmgh

2法二：考察人随电梯下降h的过程，由动能定理，有

1212AANAmgEkQEkPmvQmvP

22N因重力是保守力，故

AmgEpQEpPmghQmghPmgh

又，人以匀加速度

g下降了h，其初、末速率满足如下关系 2g22vQvP2h

2联立以上三式，可知支持力做功为

1ANmgh

2选D。

一单摆摆动的最大角度为0，当此单摆由0向平衡位置（置为：（ ） A.

0）摆动过程中，重力做功功率最大的位

0 B. 0

C. 00 D. 由于机械能守恒，所以功率不变 当rrrrrrr0时，mg与v垂直，Pmgv0，A排除；当0时，v0，Pmgv0，B排除；

rrrr而当00时，Pmgvmgvcos(g,v)一般大于0。说明重力做功的功率是有变化的，D也排除，故选C。

质量完全相等的三个滑块M、N和P，以相同的初速度分别沿摩擦系数不同的三个平面滑出，到自然停止时，M滑过的距离为l，N滑过的距离为2l，P滑过的距离是3l，则摩擦力对滑块做功最多的是：（ ） A.

考察滑块以初速滑到自然停止的过程，由动能定理，知

M B. N C. P D. 三个摩擦力的功相同

12AAf0mv0

2所以三个摩擦力做功相同，选D。

一个质点在两个恒力F1和F2 作用下，在位移(3i8j)m过程中，其动能由零变为

24J，已知

F1(12i83j)N，则F1和F2的大小关系为：（ ）

A. F1F2 B. F1F2 C. F1F2 D. 条件不足不能判断

考察质点在两恒力作用下发生位移的过程，因质点的初始动能为0，表明自静止开始运动，而所受的外力为恒力，故其运动为定向的直线运动，此过程外力做功为

rrrrrrrAFAF1AF2F1rF2rF1rF2rcos rrrr2212i83j3i8j38F2cosAFEkQEkP29029(J)

对质点的前述过程应用动能定理，得

所以

rrrrAF12i83j3i8j3282F2cos29(J)

显然F2与有关，而题设并没有给出的值，所以估计F2的条件不足，选D。

半径为R的圆盘以恒定角速度绕过中心且垂直于盘面的铅直轴转动，质量为m的人要从圆盘边缘走到圆盘中心处，圆盘对他所做的功为：（ ） A. mR B. mR C. mR

2222/2

D. mR22/2

rrr人受到三个力的作用，分别是重力mg，盘面对人的支持力N和摩擦力f。考察人从圆盘边缘走至中心

的过程，由动能定理，有

1212AAmgANAfAfEkQEkPmvQmvP

22当人离盘心r时，他的速率为 vr

所以，圆盘对人做的功为

1212112AfmvQmvP0mRm2R2

2222选D。

以下列4种方式将质量为m的物体提高10m，提升力做功最小的是：（ ） Ａ. 将物体由静止开始匀加速提升10m，使速度达到5m/s； Ｂ. 物体从初速度10m/s匀减速上升10m，使速度达到5m/s； C. 以5m/s的速度匀速提升； D. 以10m/s的速度匀速提升。

rr物体受到重力mg和拉力F的作用，考察物体提高10m的过程，由动能定理，得

AAmgAN1212mvQmvP 22因重力是保守力，故

AmgEpQEpPmghQmghPmgh

所以

AN

1212mvQmvPmgh 22可知B选项支持力做功最小。

下面关于保守力的说法，正确的是：（ ）

Ａ. 只有保守力作用的系统，动能与势能之和保持不变； B. 保守力总是内力；

C. 保守力做正功，系统势能一定增长；

D. 质点沿任一闭合路径运动一周，作用于它的某种力所做的功为零，则这种力称为保守力。 选D。

在同一高度以相同速率同时将质量相同的两个物体抛出，一个竖直上抛，一个平抛，不计空气阻力，由抛出到落地过程中，下列说法中正确的是：（ ）

A. 重力对两物体做功相等； B. 重力对两物体做功的平均功率相等； C. 两物体的动能增量不相等； D. 两物体落地时的机械能相等。

选A、D。

跳伞运动员在刚跳离飞机，其降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法中正确的是：（ ） A. 空气阻力做正功； B. 重力势能增加； C. 动能减小； D. 空气阻力做负功。 选D。

当重力对物体做正功时，物体的：（ ）

A. 重力势能一定增加，动能一定减少； B. 重力势能一定减少，动能一定增加； C. 重力势能一定减少，动能不一定增加；D. 重力势能不一定减少，动能一定增加。 选C。

以相同的初速度将质量相等的三个小球P、Q、N斜上抛，P、Q、N的初速度方向与水平面之间的夹角依次是45，60，90。不计空气阻力，三个小球到达同一高度时，速度最大的是：（ ） A.

000P球； B. Q 球； C. N球； D. 三个球速率相等。

因为每个球在运动过程中机械能守恒，又初始时刻三球的机械能相等，所以选D。

将一小球系于竖直悬挂的轻弹簧下端，平衡时弹簧伸长量为d，现用手托住小球，使弹簧不伸长，然后释放任其自己下落，忽略一切阻力，则弹簧的最大伸长量为：（ ） A. d2 B .d C.

因挂载小球的弹簧伸长d就可平衡，有

2d D. 2d

mgkd

（3-5）

以弹簧，小球和地球为系统，考察弹簧在原长时对小球放手，至小球下落h（设此时小球速率为v）的过程，由机械能守恒，有

mgh1212khmv 221kH2 2（3-6）

当弹簧的伸长量达到最大值H时，小球的速率瞬间为0，则上式改为

mgH联立（3-5）和（3-6）两式，可得弹簧的最大伸长量

H2d

选D。

如果一个系统在一个过程中只有保守力做功，那么该过程中：（ ） A. 动能守恒； B. 机械能守恒； C. 动量守恒； D. 角动量守恒。

因题设保守力并未限于内力，如此未能保障系统的机械能守恒，故此题无解。

水平抛出一物体，物体落地时速度的方向与水平方向的夹角为 ，取地面为零势能面，则物体刚被抛出时，其重力势能和动能之比为：（ ） A.

考察物体和地球组成的系统，则在物体以初速v0自抛出点下落h落地（设落地速度为v）的过程中，系统机械能守恒，有

tan B. cot C. cot2 D. tan2

rr121mv0mghmv2 22再由运动的叠加性原理，即初速为v0的平抛运动可分解为水平方向的匀速（v0）直线运

动和竖直方向的自由落体运动。对落地时的速度作如图3-2的分析，有

rv0vcos

联立以上两式，可知 图3-2

12mghmv0tan2

2所以有

mghtan2

12mv02选D。

关于机械能是否守恒，下列叙述中正确的是：（ ） Ａ. 作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒； B. 作匀变速运动的物体机械能不可能守恒； Ｃ. 外力对物体做功为零时，机械能一定守恒； D. 只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒。

若系统包含物体和地球，则可选D。

一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于：（ ） A. 物体势能的增加量； B. 物体动能的增加量；

C. 物体动能的增加量减去物体势能的增加量；D. 物体动能的增加量加上克服重力所做的功。 选D。

如图所示，通过定滑轮悬挂两个质量为m1、m2的物体（m1m2），不计绳子质量及绳子与滑轮间的摩擦。在m1向下运动一段距离的过程中，下列说法中正确的是：（ ） Ａ. m1势能的减少量等于m2动能的增加量； Ｂ. m1势能的减少量等于m2势能的增加量； Ｃ. m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量； Ｄ. m1机械能的减少量大于m2机械能的增加量。

因为两物体，定滑轮，绳，地球组成的系统机械能守恒，若不计定滑轮的质量，可选C。若考虑定滑轮的质量，则有一部分机械能能将变为定滑轮的转动动能，所以选D。

自由落下的小球从接触竖直放在地上的弹簧开始，到弹簧被压缩到最短的过程中：（ ） A. 小球的动能先减小后增大； B. 小球的机械能守恒；

C. 小球的重力势能减小，动能增加；D. 小球的机械能减小，小球与弹簧的总机械能守恒。

因为小球，弹簧和地球组成的系统机械能守恒，所以不严格的情况下可选D。

选择题3.2.18图示

三、计算题

沿倾角为30的斜面拉一质量为200kg的小车匀速上坡，拉力的方向与斜面间成30角，小车与斜面间的摩擦系数为，使小车前进100m拉力所做的功为多少

解：如图3-3所示，小车受到四个力的作用，分别为

00rrr重力mg，拉力F，斜面对它的支持力N和摩擦力rf，由于小车在斜面上作匀速运动，在xOy坐标系下，

有

Fcosmgsinf0 NFsinmgcos0注意到摩擦力图3-3

fN，则拉力

Fsincosmg

cossin所求拉力做功为

rrsincosAFrFscosmgs1tansin3000.2cos3002009.8100

10.2tan3001.18105(J)另外，30也符合题意，则拉力做功为

0rrsincosAFrFscosmgs1tansin3000.2cos3002009.8100 010.2tan301.49105(J)

一地下蓄水池深3m，面积为100m，池中水面低于地面2m。（取g10m/s） （1） 要用一台抽水机将池中的水全部吸到地面，至少应做多少功

（2） 若抽水机所消耗的电功率为625W，效率80％，抽完这池水所需的时间为多少

解：考察质量为m的水被抽水机抽高h米（并设出口水速为u）的过程，应用动能定理，有

22rAA抽+Amg1mu20 2因重力是保守力，其做功为

Amgmgh

所以抽水机做功为

A抽1mu2mgh 21为使抽水机做功最少，可设抽水机出水口水速很低（u0ms），此时

A抽mgh

并且抽水机的进水口置于水面（如此达致h最小）。 如图3-4所示，在地面上取原点并取

图3-4

竖直向下为z轴，在z处取dz薄层水为研究对象，这部分水的体积为dV设水的密度为，则这薄层水的质量为

Sdz，其中S为池塘地面积。

dmdVSdz

将其抽出池塘，抽水机至少需做功

dAgzdmgSzdz

所以，把池塘的水全部抽完，抽水机至少做功

AHAdA0H0gSzdz11gSH2H021.010310100322222

2.5106(J)（2）设所求时间为t，因抽水机的电功率P0以效率转化为抽水功率P，故

APtP0t

所求时间

A2.5106t5.0103(s)

P080%625

用铁锤将一根铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，第一次击钉时，铁钉被击入木板1cm，设每次锤击时，铁钉获得的速度均相等，则第二次击钉，能将铁钉击入多深

解：取铁钉进入木板的方向为x轴，依题设，当铁钉进入木板的深度为x时，受到木板对铁钉的阻力

rrfkxi

考察第一次击钉的过程，在此过程中，设质量为m的铁钉从锤子获得的速度为v，钉子从木板表面（x00m）进入到深度为x11cm的位置，对铁钉应用动能定理，有

rrrx111Affdrkxdxkx12EkQEkP0mv2

22P0Q即

1212kx1mv 22Q （3-7）

再应用在第二次击打的过程，有

rrx21121Affdrkxdxkx12kx2EkQEkP0mv2

222Px1即

12121kx1kx2mv2 222联立（3-7）和（3-8），可解

（3-8）

x22x1

所求第二次击打，能将铁钉击入

xx2x1

21x1210.010.41(cm)

质量为610kg的机车，由车站出发沿水平轨道行驶，经过2.51053m后速度增加为16.7m/s，经历

的时间为300s，若机车所受摩擦阻力是车重的0.005倍，求机车的平均功率。

rrrr解：机车受到四个力的作用，分别为牵引力F，重力mg，路轨对它的支持力N和摩擦力f，由动能定

理，有

1AAmgANAFAfAFmgsmv20

2机车的牵引力做功

1AFmv2mgs

2所以机车的平均功率

12mvmgsAF2Ptt16.010516.720.0056.01059.82.51032

3005.24105(W)

质量为m的物体，从高度为4m，长为m的斜面顶端由静止开始向下滑动，物体到达斜面下端后，沿表面性质相同的水平面继续向前滑行。已知摩擦系数为，试求：（1）物体滑到斜面下端时的速率；（2）物体在水平面上能滑行的最大距离。

解：对斜面上的物体进行受力分析，如图3-5所示，有

Nmgcos

所以斜面对物体的摩擦力

fNmgcos

对于高h，长l的斜面，有

sinh4 l13.6图3-5

（1）考察物体自斜面顶端滑至斜面底端的过程，对物体使用动能定理，有

1AANAmgAfAmgAfmv20

2而

Amgmgh 和 Afflmglcos

所以物体滑到斜面底端的速率为

v2ghlcos2ghl2h229.840.1613.6242 6.1(ms1)（2）考察物体自斜面底端沿水平面滑行s至静止的过程，由动能定理，有

1AANAmgAfAf0mv2

2而

Affsmgs

所以

mgsmv2mghl2h212

所求物体在水平面上滑行的最大距离为

2211l13.6s1h1412(m)

0.16h4

质量为10kg的炮弹，以500m/s的初速度射出。

（1） 如果炮弹是竖直向上发射的，炮弹到达最高点的势能是多少 （2） 如果炮弹以45仰角发射，炮弹到达最高点的势能是多少

解：一般地，设炮弹以仰角和初速v0发射，则依据运动叠加原理，可将炮弹的运动视为水平方向作

0v0xv0cos的匀速直线运动与竖直方向作初速为v0yv0sin的上抛运动的合成。于是，水平方向

分运动的重力势能恒为0，以炮弹和地球为系统，炮弹竖直方向分运动的过程机械能守恒，考察炮弹从发射至到达最高点的过程，有

12mv0ymgh 2当炮弹处于最高点时，它的重力势能为各分运动势能之和，即

12122Epmgh0mv0mv0sin y22（1）当仰角90时，炮弹到达最高点的势能为

012201Epmv0sin901050021.25106(J)

22（2）当仰角45时，炮弹到达最高点的势能为

02122015Epmv0sin451050026.2510(J) 222

在半径为R的固定球面顶点处，一物体由静止开始下滑。

（1）如果为光滑球面，求物体离开球面处距离球面顶点的高度h；

（2）如果物体与球面之间存在摩擦，物体离开球面处距球面顶点的高度H大于还是小于h 解：

（1）在光滑球面的条件下，如图3-6（a）所示，物体在球面上滑行时，受到两个力的作用，分别为重力

2rrmg，球面对物体的支持力N，且有 v2mgcosNm

R，且H（3-9）

h，当物体恰好离开球面时，球面对物体的支持

力N0，代入上式，得

v2mgcosm

R

（3-10）

以物体，球面和地球为系统，考察物体从球面

图3-6（a）

顶端滑至恰好离开球面的过程，该系统机械能守恒，即

1mghmv2

2而h与的关系为 hRRcos

由以上三式，可解出

（3-11）

（3-12）

hR3

（2）在物体与球面之间存在摩擦力的条件下，如图3-6（b）所示，物体在球面上滑行时，受到三个力的

rrrfN作用，分别为重力mg，球面对物体的支持力和摩擦力，且有

V2mgcosNm

R（3-13） 图3-6（b）

其中fN。当物体恰好离开球面时，球面对物体的支持力N0，代入上式，得

V2mgcosm

R（3-14）

考察物体从球面顶端滑至恰好离开球面的过程，如图3-6（b），对物体应用动能定理，有

1AAmgANAfmgHAfmV20

2即

1mgHAfmV2

2而H与的关系为

（3-15）

HRRcos

（3-16）

比较（3-10）～（3-12）和（3-14）～（3-16），设若hH，即由（3-10）和（3-13），可得N，注意到Af0，可知Vv，

0，表明此时物体还压在球面上。此时继续增大，则由（3-16）可知，

H也增大，且Af也增大，由（3-15）知V也增大，再由（3-13）知N减小。可知当适当地将增大

到某一值时，则N为零，此时物体恰好离开物体。所以H

质量为0.1kg的小球悬挂在劲度系数为1N/m、原长为0.8m的轻弹簧一端，弹簧另一端固定。开始时，弹簧水平放置且为原长，然后将小球静止释放任其下落，当弹簧通过铅垂位置时其长度为1m，求此时小球的速度。

解：考察弹簧从水平放置且为原长运动至弹簧通过铅垂位置的过程，则由弹簧，小球和地球组成的系统机械能守恒，有

h。

mgh1212mvkx 22k21x29.81.0(1.00.8)24.4(ms1) m0.1则小球的速率为

v2gh

将质量为m的小球系于长度为l的细线下端构成单摆。开始时，单摆悬线与竖直向下方向成0角

（002），摆球的初速率为v0，试求：

（1） 取摆球最低位置为重力势能零点，系统的总机械能是多少 （2） 摆球在最低位置的速率是多少

（3） 使此单摆的悬线能达到水平位置，初始时刻摆球应具有的最小速率是多少

（4） 使单摆不摆动，而不断地沿竖直圆周运动，初始时刻摆球应具有地最小速率是多少

解：（1）以摆球，细绳和地球为系统，该系统的机械能为

E其中

12mv0mgh 2hllcos0

所以系统的机械能为

12Emv0mgl(1cos0)

2（2）在单摆从0位置摆到最低位置（设此时摆球的速率为v）的过程中，系统机械能守恒，则有

121mv0mgl(1cos0)mv2 22可解出

2vv02gl(1cos0)

（3）在单摆从0位置摆到摆线刚好达到水平位置（设此时摆球的速率为v）的过程中，系统机械能守恒，一般有

121mv0mgl(1cos0)mglmv2 22为使摆球的初速率最小，可令单摆的摆线刚好达到水平位置时，摆球的速率为0，即

12mv0mgl(1cos0)mgl 2所求摆球的初速率最低为，

v02glcos0

（4）设摆球在最高位置时的速率为v，并设摆线对摆球的拉力为T，则有

v2mgTm

R为使摆球的初速率最小，可令T0，即

v2mgm

l在单摆从0位置摆到小球到达最高位置（设此时摆球的速率为v）的过程中，系统机械能守恒，有

121mv0mgl(1cos0)mg2lmv2 22联立前两式，可得所求初始时刻摆球应具有地最小速率是

v0gl(32cos0)

劲度系数为40N/m的弹簧竖直放置，把一枚质量为2103kg的硬币放在此弹簧上端，然后向下压硬

币，使弹簧再被压缩0.01m，试求释放后，硬币被弹簧弹到最高处距离原来硬币在弹簧上最低位置的高度。

解：取弹簧，硬币和地球组成的系统，在弹簧从被压缩x0.01m到硬币被弹簧弹到最高处的过程中，系统机械能守恒，有

12kxmgh 2则所求高度为

400.01kxh0.10(m) 32mg22109.822

一辆重量为1.9610N的汽车，由静止开始向山上行驶，山的坡度为，汽车开出100m后的速率达到

436km/h，如果摩擦系数为，则汽车牵引力所作的功。

解：如图3-7所示，依题设，有

tan0.2

则

cos11.00.2220.98

对小车进行受力分析，有

Nmgcos0

所以路面对车的摩擦力为

fNmgcos

图3-7

考察小车自静止爬坡s100m的过程，由动能定理，有

1AAmgAFAfANAmgAFAfmv20

2其中

Amgmghmgssin Affsmgscos

由以上三式，可得汽车牵引力所作的功

AF121mvmgssincosmv2mgscostan222119.61033610319.61031000.980.20.10 329.83.6106.8105(J)

马拉着质量为100kg的雪撬以2.0m/s 的匀速率上山，山的坡度为（即每100m升高5 m），雪撬与雪地之间的摩擦系数为。求马拉雪撬的功率。

解：如图3-7所示，依题设，有

tan0.05

则

cos11.00.05221.0

对小车进行受力分析，有

Nmgcos0 Fmgsinf0其中路面对车的摩擦力为

fN

由以上两式，可解出马拉雪橇的牵引力为

Fmgsincos

所求马拉雪撬的功率

rrPFvFvmgvsincosmgvcostan1009.82.01.00.050.10 294(W)

质量m100g的小球被系在长度l50cm绳子的一端，绳子的另一端固定在点O，如图所示。若将小

600的点Q球拉到P处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。则小球从P运动到绳子与水平方向成的过程中，重力所作的功为多少。

解：重力是保守力，在小球从P至Q的过程中，重力做功为

P O

θ=600 Amg(EpQEpP)(mghQmghP)mghPhQmglsin6000.42(J)Q 100509.8sin6001000100

m 计算题3.3.13图示

物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为0.49m/s。若动力机械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。

2rrr解：如图3-9所示，物体受到4个力的作用，分别为重力mg，机械臂的推力F，地面对它的支持力Nr和摩擦力f，设物体的加速度为ar，则有

FfmaNmg0 其中摩擦力

fN

可得

fmg

和

Ffma

上式两边同时乘以物体的速率，得

Fvfvmav

即

PFPfPa

依题设，P1fPa2PF，则可知 fmgma

所求物体与地面的摩擦系数

ag0.499.80.05

图3-9