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５２ ’２００５年６月 北京广播学院学报（自然科学版） Ｊｕｎｅ．２００５ 第１２卷第２期 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＢＥＩＪＩＮＧ ＢＲＯＡＤＣＡＳＴＩＮＧ ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ Ｖｏ１．１２．Ｎｏ．２ （ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ） 基于Ｍａｔｌａｂ实现最小二乘曲线拟合 王可，毛志仅 （中国传媒大学通信工程系，北京１０００２４） 摘要：物理量之间的函数关系在实际研究工作有很重要的作用。本文首先介绍了最小二乘原理。其次介 绍了用Ｍａｔｌａｂ实现曲线拟合以得到函数关系的方法和步骤。最后举例比较了采用不同方法进行拟合得到的 结果。 关键词：Ｍａｔｌａｂ；最小二乘法；曲线拟合 中国分类号：０２４１．２文献标识码：Ａ文章编号：１００７—８８１９（２００５）０２—００５２—０５ 使得数据点的平方误差和最小。这种选择就是最 ｌ 引言 小二乘曲线拟合。可用一系列基函数进行最小二 乘曲线拟合，直接而通用的做法是用多项式，即线 在现代科学研究中，物理量之间的相互关系 性拟合；另外还可以选择其他基函数，这种做法称 通常是用函数来描述的。有些函数关系是由经典 之为非线性拟合。下面简要介绍一下最小二乘法 理论分析推导得出的，这些函数关系不仅为我们 的基本原理： 进一步的分析研究工作提供了物理的理论基础， 在数据处理中应用的最小二乘法原理是算术 也使我们可以十分方便的运用丰富的数学知识来 平均值原理的推广。即多次等精度测得 解决物理问题。 ｆ。，２ …２ 的最佳值 在现实的物理研究过程中，有一些问题很难 ｚ 由经典物理理论推导出物理量的函数表达式，或 ｎ一 者推导出的表达式十分复杂，不利于进一步的分 其残差ｖｊ＝ｌｊ—Ｌ满足平方和 析。但由于研究需要，又很希望能得到这些量之 ＝ｍｉｎ（最小） 间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合的方法， 这一点是显然的，因对任何值Ｌ 而言 用实验数据结合数学方法得到物理量之间的近似 Ｚ —Ｌ ＝Ｚｉ一 ＋（ 一Ｌ ）＝ ＋（ 一Ｌ ） 函数表达式。 ∑（ －Ｌ ） ＝∑ ２ｉ＋２（ －Ｌ ）∑ ＋ｎ（ －Ｌ ） ２ 曲线拟合的基本原理 ＝ ＋ｎ（Ｌ一 ２∑ 曲线拟合就是拟合测量数据曲线。有时所选 故 只有选为Ｌ ＝Ｌ时方为最小。 择的曲线通过数据点，但在其他点上，曲线接近它 以上就是最小二乘法的基本原理，用它可以 们而不必通过它们。在大多数情况下，选择曲线 解决两个量之间关系的问题。 例如：现有一组（ ，Ｙｉ），ｉ＝１，２…ｒｔ，要建立 收稿日期：２００４．１１－０１ 和Ｙ之间的函数关系。 维普资讯 http://www.cqvip.com
第２期 王 可等：基于Ｍａｔｌａｂ实现最小二乘曲线拟合 ５３ 设 和Ｙ之间的函数关系为Ｙ＝ ），则满足 Ｑ＝∑［ｙ 一ｆ（ｘ ）］ ＝ｍｉｎ的 ）即为所求。 ３最小二乘法实现曲线拟合 ｙ＝ａｘ ＋ｃ ｙ＝ａｅｋ 首先介绍用最小二乘法实现曲线拟合时常用 的经验公式及选取合适公式的方法： 在工作中，通常情况是找出两个量之间的关 ｙ＝ａｘ ＋６ ＋ｃ 系。此时需要对两个量的多组对应数据用经验公 式表示出来，因为经验公式形式紧凑，便于从理论 上进一步分析。 对表征（ ，Ｙ ）， ｌ，２…ｎ的关系Ｙ＝ｆ（ ； 口，ｂ，Ｃ…），式中口，ｂ，Ｃ…为参数，因自变量 已知 时Ｙ已测得，故类型 决定后，由误差方程ｆ（ ； 图１典型图形 口，ｂ，Ｃ…）＝Ｙ ＋／３ ， ｌ，２，…ｎ就可用最小二乘 下面举例说明如何用最小二乘法实现两个量之间 法决定经验公式中参数口，ｂ，Ｃ…。下面我们就来 关系的曲线拟合。 介绍经验公式类型的选取。 例基线基准尺是由殷钢合金制成的，研究 经验公式类型的选取主要靠专业知识来决 表明，殷钢尺的长度随时间变化而增长，越往后增 定，从数学方面去决定两个量的经验公式主要有 长得越慢，这种殷钢随时间而变长的现象称作合 三种方法：观察法、近似法、严格计算法。这三种 金时效。殷钢尺长度变化的规律经研究可用 方法中，观察法简单、直观，相对来说近似法和严 △Ｚ＝ａｌｇ（１＋ ） 格计算法比较精确，但比较繁琐。对于大多数情 来描述，其中△Ｚ为长度变化值，ｔ为变化时 况，都可以采用观察法来确定经验公式，所以下面 间，０、ｂ为常数。 主要介绍观察法。 基准尺尺长的实际变化如表ｌ。 观察法就是将数据（ ，Ｙｉ）作图，与典型图ｌ 比较，看所作图形与典型图中何种类似，就取该类 型为（ ，Ｙ ）经验公式类型。 表ｌ ￡（日） ０ ６５７４ ９４９６ １０２２７ １７５４６ １８３８４ １９４０４ ’１９８６０ ２０２２５ Ａｔ（ｉｘ） ０ ６０．７ ７１．４ ７５．３ ７９．４ ７９．９ ８０．９ ８２．０ ８２．８ 今用Ａｌ＝ａｌｇ（１＋ｂｔ）逼近△ｆ，即由最小二乘 法在 （口，６）＝０ Ｑ（ａ，６）＝∑｛Ａｌ—ａｌｇ（１＋６￡）｝ ＝ｍｉｎ （口，６）＝一２∑｛［△ｚ一口ｌｇ（１ ）］ 条件下求ａ，ｂ。 ｌｇ（１＋ｂｔ）｝＝Ｃ（常数） 由Ｑ（口，ｂ）＝ｍｉｎ，按 维普资讯 http://www.cqvip.com
５４ 北京广播学院学报（自然科学版） 第ｌ２卷 由物理判断０＜ｂ １，经计算得ｂ取不同值 …口＝ ， 时的口及Ｑ（口，ｂ）如表２。 因为Ｃ＝０，所以 ∑Ａｌ ｌｇ（１＋ｂｔ ） 一 而 表２ ｂ Ⅱ ｑ（ｏ，ｂ） ｂ Ⅱ ｑ（ｏ，ｂ） ０．００１００ ６４ １４９．２ ０．００６９９ ３８．２７６９３ ３１．７９ ０．００２７０ ４８ ５１．５ ０．００７００ ３８ ２６５２６ ３１．７９ ０．００２８５ ４７ ４８．０ ０．００７０１ ３８．２５３６２ ３１．７９ ０．００３５０ ４５ ４０．４ ０．００７１０ ３８．１５０ ３１．８１ ０．００５００ ４１ ３３．４ ０．０１０００ ３６ ３２．０ ０．００５６０ ４０．１６４ ３２．０３ ０．０５０００ ２７ ６１．４ Ｏ．００６９８ ３８．２８８６１ ３１．７９ ０．１００００ ２４ ７７．０ 由上表可知Ｑ（口，ｂ）在ｂ＝０．００６９９，口＝３８． 代人数值由 、Ｙ、ｂ计算口、Ｑ； ２７６９３时取极小值，此时Ｑ（口，ｂ）＝３１．７９１７，故 （５）改变ｂ的取值，多次调用该 函数，比较 基线基准尺用口 （１＋ ）的最小二乘法逼近结 结果中的Ｑ值，最小的Ｑ值所对应的口、ｂ值即为 果为 所求。 Ａｌ＝３８．２８１ｇ（１＋０．００６９９ｔ） “改变ｂ的取值”这部分工作也可编一个循 环函数，输入ｂ可能取的区间，计算不同ｂ对应的 ４用Ｍａｔｌａｂ实现曲线拟合 Ｑ，再进行比较，保留使Ｑ最小的ｂ及对应的口。 但通常ｂ的改变对Ｑ的影响不是线性的，为方便 Ｍａｔｌａｂ是一种功能强大的系统分析和仿真工 观察结果并选择适当的ｂ，“改变ｂ的取值”这部 具，我们选用它作为实现曲线拟合的软件工具。 分工作最好还是编程者自己完成。 用Ｍａｔｌａｂ语言编程实现最小二乘法的思路： 最后，只要将得到的函数图像和 、Ｙ的曲线 （１）输入各参量Ｘ、ｙ的测量值（以数组形式 关系图进行对比，就可以直观的看到拟合的效 输入，这样便于在计算过程中引用）； 果了。 （２）用Ｍａｔｌａｂ语言中的ｐｌｏｔ函数ｘ，ｙ的曲线 另外，Ｍａｔｌａｂ语言提供了一个函数，可以完成 关系图，以此图对比典型曲线图，选择合适的经验 线性曲线拟合，这就是函数ｐｏｌｙｆｉｔ。函数ｐｏｌｙｉｆｔ 公式； 的输入量为 、Ｙ、ｎ，其中 、Ｙ即为需要建立相互 （３）按照上例中的方法，选一个系数口，求Ｑ 关系的两个量的测量值，以数组的形式输入，ｎ为 （口，ｂ）对它的偏导数，求出其计算表达式； 多项式的次数；输出的是多项式系数的行向量，而 （４）编写Ｍａｔｌａｂ的 函数，用来完成经验公 得到的多项式是降幂的。 式中待定系数口的计算，该函数输入量为 、Ｙ、ｂ， 输出量为口、Ｑ，按照由最小二乘法推导出的公式 维普资讯 http://www.cqvip.com
扎 ∞ 第２期 王 可等：基于Ｍａｔｌａｂ实现最小二乘曲线拟合 ５５ 例：某一消失模滤波器中螺钉归一化插入深 ５ 举例说明 度与其对应的电纳值的数据如表３。 现在举一个例子，用Ｍａｔｌａｂ实现曲线拟合 表３ Ｂｃ Ｂｃ ０．２４１１ ４．０２９ ０．１８２９ ６．２１９ ０．２３２８ ４．２２６ ０．１７４６ ６．８２９ ０．２２４５ ４．４３９ ０．１６６３ ７．６２８ ０．２１６２ ４．６９０ ０．１５８０ ８．６４６ ０．２０７８ ４．９８４ ０．１４９７ １０．３３３ ０．１９９５ ５．２９６ ０．１４１３ １３．６６８ ０．１９１２ ５．７２４ ０．１３３０ ２３．０３８ 现在按照上面介绍的方法用Ｍａｔ＿ｌａｂ语言求 图形如图２。选型Ｙ＝似 的经验公式。 Ｂｃ＝ ）。 （３）由最］ｂ－乘法得 （１）输人数据： ｈ＝『０．２４１１ ０．２３２８ ０．２２４５ ０．２１６２ ０．２０７８ ｑ（ａ，６）＝∑（Ｂｃ—ａｈ ）。＝ｍｉｎ ０．１９９５ ０．１９１２ ０．１８２９ ０．１７４６ ０．１６６３ ０．１５８０ ０． 曰ｃ ． １４９７ ０．１４１３ ０．１３３０ Ｉ； ｈ。 Ｂｃ＝『４．０２９ ４．２２６ ４．４３９ ４．６９０ ４．９８４ ５．２９６ （４）编写Ａ．Ｉｎ计算口、Ｑ： ５．７２４ ６．２１９ ６．８２９ ７．６２８ ８．６４６ １０．３３３ １３．６６８ （５）改变ｂ的取值，调用Ａ．ｍ函数： ２３．０３８ Ｉ； 经过比较，当ｂ＝一３．５２８时，Ｑ＝３８．５７７８ （２）画图，选择经验公式： 为最小，此时ａ＝０．０１５７，所以曰ｃ＝０．０１５７ｈ · 勰。 最后画出测量数据关系图和函数图像如图３。 ０．１２ ０．１４ ０．１６ ０．１８ ０．２ ０．２２ ０．２４ ０．２６ 图２数据曲线 图３数据曲线与函数图像 维普资讯 http://www.cqvip.com
５６ 北京广播学院学报（自然科学版） 第１２卷 其中虚线为求得的函数图像。 之间的最小二乘法的曲线拟合，通过以上说明可 下面再分别选Ｙ＝口＋ｂｌｏｇｘ和Ｙ＝似 ＋ ＋Ｃ 以看出，采用本文所述方法进行两个量之问关系 作为经验公式进行拟合： 的曲线拟合是较为方便和实用的，并且对于实现 １．对于型，步骤如上，结果为口＝一３０．９，ｂ＝ 多个未知量的最小二乘法也有一定参考价值。 ２２．８８３１，Ｑ＝９９．３３４５； ２．对于Ｙ＝ ＋ ＋Ｃ型，可用函数ｐｏｌｙｆｉｔ 参考文献： 来做： ｐｏｌｙｆｉｔ（ｈ，Ｂｃ，２） 刘智敏．误差与数据处理［Ｍ］．北京：原子 ａｎＳ＝ 能出版社，１９８１． １．０ｅ＋００３；ｌ： ［２］ Ｈａｎｓｅｌｍａｎ Ｄ，Ｌｉｔｔｅｆｉｅｌｄ Ｂ，李人厚．张平安 ２．３４９８ —０．９９８１ ０．１０９７ 等校译．精通ＭＡＴＬＡＢ ５综合辅导与指南 计算Ｑ＝４４．１１７７； ［Ｍ］．西安：交通大学出版社，２００１． 比较三种经验公式得到的Ｑ值可知，Ｙ：僦 型得到的Ｑ值最小，因此是最合适的。 ６结束语 本文详细说明了用Ｍａｄａｂ语言实现两个量 Ａｃｔｕａｌｉｚｉｎｇ Ｌｅａｓｔ－—－ｓｑｕａｒｅｓ Ｃｕｒｖｅ－—－ｆｉｔｔｉｎｇ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｔｌａｂ ＷＡＮＧ Ｋｅ，ＭＡＯ Ｚｈｉ－ｊｉ （Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００２４，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｈｙｓｉｃｓ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ ａｃｔｕａｌ ｒｅｓｅａｒｃｈＴｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｏｆ ａｃｔｕａｌｉｚｉｎｇ Ｌｅａｓｔ—ｓｑｕａｒｅｓ ｃｕｒｖｅ—ｆｉｔｔｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｔｌａｂ ｔｏ ｇａｉｎｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｆｉｎａＨｙ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｍｐａｒｅｓ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｒｅｃｅｉｖｅｄ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｉｔｔｉｎｇ ｗａｙｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅＫｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｍａｆｌａｂ；Ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ；Ｃｕｒｖｅ ｆｉｔｔｉｎｇ （责任编辑：韩月珍）