空间向量的运算及应用
一、基础知识
1．空间向量及其有关概念
概念 共线向量(平行向量) 共面向量 共线向量定理 语言描述 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 平行于同一个平面的向量 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的共面向量定理 有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序―→―→―→―→实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1 2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.
(2)空间向量的坐标运算：
向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角公式
3．直线的方向向量与平面的法向量
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3b1＋b2＋b3 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 4．空间位置关系的向量表示
位置关系 l1∥l2 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1⊥l2 l∥α 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l⊥α α∥β 平面α，β的法向量分别为n，m α⊥β 1．空间向量基本定理的3点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．有关向量的数量积的2点提醒
(1)若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c
a＝c.
n⊥m⇔n·m＝0 n∥m⇔n＝km(k∈R) n∥m⇔n＝km(k∈R) n1⊥n2⇔n1·n2＝0 n⊥m⇔n·m＝0 向量表示 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) (2)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一
二、常用结论
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： ―→―→
(1)PA＝λPB (λ∈R);
―→―→―→
(2)对空间任一点O，OP＝OA＋tAB (t∈R)； ―→―→―→
(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB (x＋y＝1)． 2．证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
―→―→―→(1) MP＝xMA＋yMB；
―→―→―→―→
(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB； ―→―→―→―→―→―→
(3) PM∥AB (或PA∥MB或PB∥AM )． 3．确定平面的法向量的方法
(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．
n·a＝0，
(2)待定系数法：取平面内的两条相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由解
n·b＝0，
方程组求得．
三、考点解析
考点一 空间向量的线性运算
―→―→
1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，―→
则下列向量中与BM相等的是( ) 1111
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
22221111
C．－a－b＋c D.a－b＋c
2222
―→―→―→
2.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ―→(1) AP； ―→(2) A1N； ―→―→(3)MP＋NC1.
考点二 共线、共面向量定理的应用
1．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________.
―→1―→―→―→
2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC)．
3―→―→―→
(1)判断MA，MB， MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内．
―→―→―→―→
3.如图所示，已知斜三棱柱ABC A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝kBC―→―→―→
(0≤k≤1)．判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．
考点三 空间向量数量积及应用
例、如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
跟踪训练
如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD.
考点四 利用向量证明平行与垂直问题
例、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD.
[解题技法]
利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题． 跟踪训练
如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
课后作业
1．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( ) A．9 B．－9 C．－3 D．3
2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( ) A．α∥β B.α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 ―→―→―→―→―→―→
3．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝( ) A．－1 B.0 C．1 D．不确定
4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段―→―→―→―→―→―→―→―→
MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量OA，OB，OC表示向量OA，设OA＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别是( ) 111
A．x＝，y＝，z＝
333111
C．x＝，y＝，z＝
363
111
B.x＝，y＝，z＝
336111D．x＝，y＝，z＝
633
5.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，
D两点间的距离是( )
A.3 B.2 C．1 D.3－2
―→―→―→―→―→
6.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________________.
7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________.
―→―→
8．在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点， C1N＝λNC，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．
10.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．
―→―→―→―→(1)试用向量AB，AD，AA1表示AG； (2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.
提高练习
―→―→―→―→
1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC (x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A．必要不充分条件 B.充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为( )
A．共线 B.共面 C．不共面 D．无法确定
―→―→
3．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P (1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．
―→―→―→―→―→
4．已知四面体PABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，|AB|＝1，|AC|＝2，|AP|＝3，则|AB＋AP＋―→
AC|＝________.
5．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
求证：PQ∥平面BCD.
6.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.求证： (1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.