基础数学 我的学习发现 自主招生 2019年12月
——零点个数问题中应用零点定理的取值技巧导数压轴题—
■王天一
近几年导数压轴题中常出现证明函数零解答这类题的思路主要是结合函数的单调性,应用函数零点定理找出使函数出现正、负的函数值。其中找出符合零点定理成立的恰当数值是顺利攻克这类题的难点,下面通过高考经典试题例谈取值的两个技巧。
技巧一:简化运算,恰当取值
(,为f(的导x)=sinx-ln1+x)'(x)x)f(f数。证明:
π()在区间-,内存在唯一极1x)1f(
2例题 (已知函数2019年全国卷Ⅰ)点个数或已知零点个数求参数范围的问题。
(,所以f(在区间lne=sine-1)-1<0x)()内存在唯一零点。x0,e-1
由上述可知,有且仅有两个零点。x)f(技巧二:合理待定,放缩估算
例题 (已知a>2016年全国卷Ⅰ改编)
x2
,))求证函数f(有0x)=(x-2e+a(x-1
两个零点。
),时,在区间(上递减,在区间(x)-∞,11f(),,)可知函数f(在区间(内有2=a>0x)12f(
,只需找到一值b,使即可x)→+∞,b)>0f(f(证明函数f(有两个零点。下面运用待定系x)数且结合放缩法找到b的精确值。
由题意可知,需确定的b值比1小,越小)。由上递增,所以f(+∞)x)1=-e<0min=f(
x)(,证明:当a>0'(x)=(x-1e+2a)f()
),一个零点。观察可知f(当x→-∞时,0<0
大值点;
()有且仅有两个零点。2x)f(
()若f(存在零2x)=sinx-ln(1+x)()证明:略。1
。又x∈(,点,需使sinx=ln(1+x)-1],解得x∈1
,,],(,则l+∞)sinx∈[-11n1+x)∈[-1需证f(必须,x)-1e-1],[1e1在区间[-,1e-1]上存在两个零点。
e1
,))由(及f'(x)=cosx-1'(0=f1+xb利于计算,则有f(λ满足e<λa,b)=(b-22
())]。若(a[b-1+λ(b-2b-1)+λ(b-
b。当a>越精确,则e若存在正整数→00时,
b22
)2e+a(b-1)>(b-2)λa+a(b-1)=
)观察可知当λ=2>0成立,故取b<0且b2)2+a(b-1)=aa时,有f(b)>(b-221时满足题意。2,可得f0'()
1
,可知f-<0'(x)在区间
π1+
221ππ,=->0'=f2π421+
4()
32,如ab-b>02
()
在区间(x)b,1)f(
,和(内各有一12)个零点。
图1所示。故函数
[
1
其中,-1e-1上存在两个零点0和x0,
e
]
图1
x0∈
,,单调递减;当x∈(时,'(x)<0x)0x0)ff(,)单调递增;当x∈('(x)>0x)x0,e-1ff(,,又f(0x0)>0e-1)=sin(e-1)-f(,)时,单调递减。因为f('(x)<0x)0=ff(
ππ
,)。当(42
x∈
,-10)时,(1e总结:以上探究“取值点”的思维过程可,以概括为设出“取值点”运用分析法,列出不等关系,将超越不等式通过放缩转化为有理不等式,通过求解或赋值,来不断探寻式子成立的条件,直到找出合适的数值。
作者单位:河北省石家庄市精英中学高三B11班
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