临海市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

临海市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知函数f（x）=ax+b（a＞0且a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣或﹣ 2． 现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．

②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．

③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

3． 若a＞0，b＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4． 设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁UN=﹛2，4﹜，则N=（ ） A．{1，2，3}

B．{1，3，5}

2C．{1，4，5} D．{2，3，4}

5． 方程x11y1表示的曲线是（ ）

A．一个圆 B． 两个半圆 C．两个圆 D．半圆 6． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）

A． B． C．1 D．

第 1 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

7． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+棱的长度为（ ）

=2，则四面体D﹣ABC中最长

A． B．2 C． D．3

8． 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）

A． = B．∥ C． D．

9． 如果对定义在R上的函数f(x)，对任意mn，均有mf(m)nf(n)mf(n)nf(m)0成立，则称 函数f(x)为“H函数”.给出下列函数： ①

f(x)ln2x5；②f(x)x34x3；③f(x)22x2(sinxcosx)；④

ln|x|,x0．其中函数是“H函数”的个数为（ ） f(x)0,x0A．1 B．2 C．3 D． 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 10．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）

第 2 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

A． B． C．

D．

11．已知双曲线和离心率为sin4的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，若

1，则双曲线的离心率等于（ ） 2567A． B． C． D．

222cosF1PF212．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a2﹣c2=3bc，则A等于（ ） A．30° B．60° C．120° D．150°

二、填空题

13．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种． 14．已知函数f(x)

2tanxf()的值是_______，f(x)的最小正周期是______. ，则

31tan2x【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 15．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁UA）∪B= ．

16．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n的最小值是 ．

17．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函

2

数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．

18．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题： ①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；

②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势；

第 3 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势． 其中正确命题的序号是 ．

三、解答题

19．（本小题满分13分）

x2y21的上、下顶点分别为A,B，点P在椭圆上，且异于点A,B，直线AP,BP 如图，已知椭圆C:4与直线l:y2分别交于点M,N，

（1）设直线AP,BP的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值； （2）求线段MN的长的最小值；

（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.

20．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1 （1）解关于x的不等式f（x）＞0；

（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

第 4 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

21．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足（1）求点P的轨迹方程；

（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=

22．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．

23．如图，椭圆C1：

的离心率为

2

，x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于椭

=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．

，求直线l的方程．

圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点， （Ⅰ）求C1、C2的方程；

第 5 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若

，求直线AB的方程．

24．

第 6 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

临海市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解； 当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）=解得a=，b=﹣2； 所以a+b=

=﹣；

=0，f（0）=1+b=﹣1，

故选：B

2． 【答案】A

【解析】解；观察所给的四组数据，

①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样， ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段， 在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，

在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样， ③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样， 故选A．

3． 【答案】C

【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1， ∴y=+=（a+b）∴y=+的最小值是4． 故选：C．

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

4． 【答案】B

【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜， ∴集合M，N对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B

=2+

=4，当且仅当a=b=时取等号．

第 7 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

5． 【答案】A 【解析】

22试题分析：由方程x11y1，两边平方得x1(1y1)，即(x1)(y1)1，所

2222以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程.

6． 【答案】B

【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，

又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆， ∴半圆锥的底面半径为1，高为

，

的直角三角形，

即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和故侧视图的面积是故选：B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

7． 【答案】 B

【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1， 即AD•

≥1，

≥2

=2， ，

因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=得BD=故选B．

=1时，等号成立，

，

，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=

，故最长棱的长为2．

【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．

8． 【答案】D

第 8 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

【解析】解：由图可知，故选D．

，但

不共线，故

，

【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．

9． 【答案】B

第

10．【答案】D

2|x|

【解析】解：∵f（x）=y=2x﹣e， 2|x|2|x|

∴f（﹣x）=2（﹣x）﹣e﹣=2x﹣e，

故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e∈（0，1），故排除A，B；

2

2x

当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x﹣e， x

∴f′（x）=4x﹣e=0有解，

2|x|

故函数y=2x﹣e在[0，2]不是单调的，故排除C，

故选：D

11．【答案】C 【解析】

试题分析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，PF1m，PF2n，且不妨设

mn，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2，又cosF1PF21，由余弦定理可知：2第 9 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

2a123a2134，设双曲线的离心率为，则24，解4cmnmn，4ca3a，cc22e（）26得e.故答案选C．

222222122考点：椭圆的简单性质．

【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P为公共点，可把焦半径接着用余弦定理表示cosF1PF2PFPF2的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴a1,a2来表示，1、21，2成为一个关于a1,a2以及的齐次式，等式两边同时除以c，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主. 12．【答案】C

【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc， 可得a2=7c2， 所以cosA=∵0＜A＜180°， ∴A=120°． 故选：C．

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．

=

=﹣，

二、填空题

13．【答案】 75

【解析】计数原理的应用． 【专题】应用题；排列组合． 根据分类计数加法得到结果．

【解答】解：由题意知本题需要分类来解，

【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，

13

第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C3C6=60， 4

第二类，若从其他六门中选4门有C6=15，

∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法． 故答案为：75．

【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，

第 10 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

分类做到不重不漏． 14．【答案】3，.

xk2tanx2tan2xf()tan3【解析】∵f(x)，∴，又∵，∴f(x)的定义域为221tanx331tan2x0k)(k,k)，kZ，将f(x)的图象如下图画出，从而

244442可知其最小正周期为，故填：3，. (k,k)(k,

15．【答案】 {2，3，4} ．

【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}， ∴CUA={3，4}， 又B={2，3}，

∴（CUA）∪B={2，3，4}，

故答案为：{2，3，4}

16．【答案】 2 ．

【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=loga（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），

第 11 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

故2m+n=1．

mn∴4+2≥2

=2=2．

mn

当且仅当4=2，即2m=n，

即n=，m=时取等号．

mn

∴4+2的最小值为2

．

故答案为：2

17．【答案】

．

【解析】解：由题意，函数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件

2．

∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，

∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种 ∵（a，b）的取值共36种情况 ∴所求概率为故答案为：

．

=

．

18．【答案】 ①③ ．

【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；

对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确； 对③，给出对应法则y=tan③正确． 故选：①③

【点评】本题借查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．

x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）易知A0,1,B0,1，设Px0,y0，则由题设可知x00 ，

第 12 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

 直线AP的斜率k1y01y1，BP的斜率k20，又点P在椭圆上，所以 x0x0

（4分）

22x0y01y01y011y01，x00，从而有k1k22. 4x0x0x04

20．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax﹣（a+1）x+1＞0，

2

即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

第 13 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1； 当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0， 由1＞可得＜x＜1；

2

当a=1时，（x﹣1）＞0，即有x∈R，x≠1；

当a＞1时，1＞，可得x＞1或x＜； 当0＜a＜1时，1＜，可得x＜1或x＞． 综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}； a＜0时，解集为{x|＜x＜1}； a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}； a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜}； 0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞}．

（2）对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立， 即为ax﹣（a+1）x+1＞0，

22

即a（x﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

2

设g（a）=a（x﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．

则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，

22

即﹣（x﹣1）﹣x+1＞0，且（x﹣1）﹣x+1＞0，

即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0， 解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0． 可得﹣2＜x＜0．

故x的取值范围是（﹣2，0）．

21．【答案】

=（2x+3）（2x﹣3）+3y2=3， 【解析】解：（1）由题意，

22

可化为4x+3y=12，即：

； ；

∴点P的轨迹方程为

（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；

②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

第 14 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

22

代入椭圆方程可得：（4+3k）x+6kx﹣9=0，

∴x1+x2=∴|AB|=∴k=±

，

，x1x2=•|x1﹣x2|=

，

=

，

∴直线l的方程y=±x+1．

【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．

22．【答案】

【解析】满分（14分）．

解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），

．…（1分）

由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得

．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表： x f′（x） ﹣ f（x） ↘ 故函数f（x）在无极大值．…（4分） （Ⅱ）

，

0 + 极小值 ↗ 单调递减，在

单调递增，…（3分）f（x）有极小值

，

令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．

则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0 当a=0时，方程的解为

，满足题意；…（5分）

，函数h（x）在（0，1）上单调递增，

当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴

且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分） 当a＜0，△=0时，

，此时方程的解为x=1，不符合题意；

当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，

第 15 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

只需h（1）=2a+1＞0，得综上，

．…（8分）

．…（7分）

（说明：△=0未讨论扣1分）

（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分）由

，故由（Ⅱ）可知，

，

方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，

且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）

又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分） 取t=e﹣3+2a∈（0，1），

则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0， 从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0， 即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，

从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分） 解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分） （Ⅱ）

令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得设

，则m∈（1，+∞），

，

．…（5分）

，…（6分）

的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．

问题转化为直线y=a与函数

又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分） 故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当（Ⅲ）同解法一．

（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）

【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：

的离心率为

， ．…（8分）

第 16 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

22∴a=2b，

令x﹣b=0可得x=±

2，

2

∵x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，

∴2=2b，

∴b=1，

∴C1、C2的方程分别为

2

，y=x﹣1； …

22

（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x﹣1联立得x﹣k1x=0 2

∴x=0或x=k1，∴A（k1，k1﹣1）

同理可得B（k2，k2﹣1）…

2

∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…

），

y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（

同理可得E（） …

∴S2=|MD||ME|=•• …

∴

若则

或

解得或…

∴直线AB的方程为

第 17 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．

24．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．

【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可．

（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=求解数学期望即可．

【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1 解得a=0.03；

又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克） 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．

（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2； 则X～B（3，）， X=0，1，2，3； P（X=0）=

×（）3=

；

，P（X=3），列出分布列，

第 18 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=

×（）2×=

；

；

×（）×（）2=×（）3=

，

∴X的分布列为： X 0 P 即E（X）=0×

1 =．

2 3 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力

第 19 页，共 19 页