离散数学习题解第二部分(代数系统)

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离散数学习题解第二部分代数系统

习题四第四章代数系统

1．设I为整数集合。判断下面的二元关系是否是I上的二元运算

a）+={（x，y），z|x，y，zI且z=x+y} b）－={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x－y} c）³={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x³y} d）/={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x/y} e）R={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x} f）

={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x }

g）min = {（（x，y），z）|x，y，zI且z=max（x，y）} h）min = {（（x，y），z）|x，y，zI且z=min（x，y）} i）GCD = {（（x，y），z）|x，y，zI且z= GCD（x，y）} j）LCM={（（x，y），z）|x，y，z∈I且z= LCM（x，y）}

[解] a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2→I是I上的一个二

元运算。

b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I→I是I上的一个

二元运算。

c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：I→I是I上的一个

二元运算。

d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6I；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=x=2=

则z=x2I；

–2

122=

14I；若x=y=0，则z=x=0，

g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2→I是I上

的一个二元运算。

h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：I2→I是I上

的一个二元运算。

i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD：I2→I是

I上的一个二元运算。

j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD：I2→I是

I上的一个二元运算。

注：两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。

2．设X={x | x=2n，n∈N}问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？ [答] 普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=2∈X，x2=22∈X，

使x1+x2=2+22=6X。

普通的乘法运算是X上的二元运算，因为对于任意的x1=2n1X，x2=2n2X，这里n1，n2N，都有x1²x2=2n1²2n2=2n1n2X（因为n1+n2∈N）。 3．设是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素el∈X，使xX，有el*x=x，则称el是关于*的左幺元。若有元素erX，使xX，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。

a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。

c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。 [解] ：a) 构造代数系统如下：

令X={a，b，c，d}，*：X³→X→X，其运算表如下：

* a b c d

则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。 b) 构造代数系统如下：

a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d 2

令X={1，2，3，4} *： X³→X→X，其运算表如下：

* 1 2 3 4

则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。

c) [证] 因为代数系统关于*运算存在着左、右幺元，ei，er∈X 则

el = el * er = er∈

4．设是代数系统，*是X上的二元运算。若有元素Ol∈X，使x∈X，有Ol*x=Ol

是关于*的左零元。若有元素Or∈X，使x∈X，有x*Or=Or，则称Or是关于*的右零元。

a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。

c) 证明：在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。 [解] a) 构造代数系统如下：

令X={a，b，c}，*：X³X→X，其运算表如下：

* a b c

则a和b都是左零元，但没有右零元。 b) 构造代数系统如下：

令X={1，2，3}，*：X³→X→X，其运算表如下：

1 1 2 3 4 2 2 1 4 4 3 4 3 1 2 4 3 4 2 3 a a b b b a b c c a b a 1 3

2 3 1 2 3

则3是右零元，但没有左零元。

2 3 1 3 1 2 3 3 3 c) [证] 因为代数系统关于*运算存在着左、右零元，Ol，Or∈X，则

Ol=Ol*Or=Or

5．当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [答] 在一个代数系统中，

1）运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x，y∈X，x行每个元素与

y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。

2）运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。

3）运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行

和列相一致。

4）运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自

己。

5）若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素y∈Y，使得

x所在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。

6．设是代数系统，*是X上的二元运算，e是关于*的幺元。对于X中的元素x，若存在y∈X，使得y*x=e，则称y是x的左逆元。若存在z∈X，使得x*z=e，则称z是x的右逆元。指出下表中各元素的左、右逆元的情况。

* a b c d e

a a b c d e b b d a a d c c a b c a d d c a d c e e d b c e [解] a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d。

7．设是代数系统，*是X上的二元运算。x，y∈X，有x*y=x。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [解] a) *运算满足结合律

因为对任何x，y，z∈X，都有 x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*z b) *运算不满足交换律

因为对于二个元素x，y∈X，有x*y=x，而y*x=y。所以当X包含多于一个元素时，能使x≠y，从而x*y≠y * x。

c) 没有幺元

因为若有幺元e∈X存在，则对任何x∈X，应有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x ≠ e，矛盾。

d) 没有零元，仿c) 保证。

e) 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。

并且若存在一个元素a∈X，使得对每个元素x∈X，都有一个元素y∈X，使y * x=x * y=a，则有y=x=a，当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立）

8．设是代数系统，*是N上的二元运算，x，y∈N，x * y=LCM（x，y）。

问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。

[解] a) *运算满足结合律

因为，对于任何x，y，z∈N，（x*y）* z =LCM (（x * y），z) = LCM (LCM（x，y），z) = LCM (（x，y，z） = LCM (（x，（y * z） = LCM (（x * y），z) = x * (y * z)

注：关于LCM（LCM（x，y），z）= LCM（x，y，z）我们可证明如下：设C1=LCM（x，y，z），d= LCM（x，y），从而C1=LCM（d，z）， C2= LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可，为此

由于C2= LCM（x，y，z），故此x | C2，y |C2，z | C2，因此由d= LCM（x，y）及x | C2，y |C2，从d2的最小性有d≤C2于是d |C2（否则C2=kd+r，0＜r＜d，由于x |d，y | d及x | C2，y | C2，故有x | r，y | r，这与d=LCM（x，y）的最小性矛盾）。即d|C2且z|C2故此由C1=LCM（d，z）的最小性，可知C1≤C2。

另一方面，由C1= LCM（d，z）知d |C1，z|C1，又由d=LCM（x，y）知x |d，y | d，y | d，因此有x|C1，y|C1，并且z | C1。因而C2=LCM（x，y，z）的最小性可知C2≤C1。

所以，C1=C2。同理可证LCM（x，LCM（y，z））=LCM（x，y，z）。 b) *运算满足交换律

因为对于任何x，y∈N， x * y=LCM（x，y） = LCM（y，x） =y * x

（c）*运算有幺元1∈N。

因为，对于任何x∈N， x * 1=LCM（x，1） =x

=LCM（1，x） =1 * x

（d）*运算没有零元。因为0 N。

（e）对于每个元素x∈X，若x≠1，则对每个元素y∈N，都有x*y=y*x=LCM

（x，y）≥x≠1，故此没有逆元素。

9．设是代数系统，*是X上的二元运算。X是X中的任一元素，若有x*x=x，则称x是幂等元。．．．

若*是可结合的，且x，y X，当x*y=y*x时，有x=y。证明：X中每个元素都是幂等元。 [证] 对于任何x∈X，令xi=x*x，xj=x，于是

xi*xj=（x*x）*x

=x*（x*x）（结合律） =xj*xi

从而由怕给性质，有xi=xj，即x*x=x。

因此，由x的任意性，可知X中每个元素都是幂等元。

10．设是代素系统，和分别是X上的两上二元运算。若x∈X，

有xy=x。证明关于是可分配的。 [证] 对于任何x，y，z∈X

x（yz）=xy

=（xy）

=（yz）x=yx=（yx）（zx）

因此代数系统中关于是可分配的。

11．设是代数系统，和分别是X上的两上二元运算。e1和e2分别是

关于和的幺元，且对于满足分配律，对于满足分配律。证明：x∈X，有xx=x，xx=x [证] （a）先证 e1e1=e1

e1e1=e1（e1e1）（e1是幺元）

=（e2e1）（e1e1）（e2是幺元） =（e2e1）e1 （对的分配） =（e2e1）（e1是幺元） = e1 （e2是幺元）

（b）次证 e2e2 = e2

e2e2 =e2（e2e2）（e2是幺元） =（e1e2） (e2e2) （e1是幺元）

+对的分配） =（e1e2）e2 （○

= e1e2 （e2是幺元） =e2 （e1是幺元）（c）最后，我们来证xx=x，xx=x

xx=（xe2）（xe2）（e2是幺元） =x （e2e2）（对的分配）

=xe2 （利用（b）） =x （e2是幺元） xx=（xe1）（xe1）（e1是幺元）

=x（e1e1）（对的分配） =xe1 （利用（a）） =x （e1是幺元）

证法二：

x=xe2 （e2为的幺元） =x（e2e1）（e1为幺元）

=x [e2（e1e2）] （e2为幺元） =x [（e2e1）（e2e2）] （对的分配律） = x [（e2（e2e2））（e1为幺元） = x（e2e2）（e2为幺元） =（xe2）（xe2）（对分配律） =xx （e2为幺元）

x=xe1（e1为的幺元）

=x（e1e2）（e2为幺元） =x [e1（e1e2）] （e2为幺元） =x [（e1e1）（e1e2）] （对的分配律） = x [（e1e1）e1] （e2为幺元） = x（e1e1）（e1为幺元） =（xe1）（xe1）（对分配律） =xx （e1为幺元）

12．设X={a，b，c，d}，和分别是X上的两个二元运算，其运算表如下：

算表如下：  a a a a a b a b a b c a a c c d a b c d  a b c d a a b c d b b b d d c c d c d d d d d d a b c d

取S1={b，d}，S2{a，d}，S3={b，c}，问，，，分别是的子代数系统吗？为什么？

[解]  b d  b d

b b d d d d  a b a a a b a b 因此< S3，，>是的子代数。因，在S3={b，d}内封闭。

b b b d b d  b d b b d d d d 因此< S2，，>是的子代数。因，在S2={b，d}内封闭。

 b c

b b a c a c  b c b b d c d c 13．设< X，*>*是X上的二元运算。若a，b，c∈X，有a*a = a且（a*b）*（c*d）

=（a*c，b*d）证明：

a*（b*c）=（a*b）*（a*c）

[证] 对任何a，b，c∈X，

a*（b*c）=（a*a）*（b*c）（幂等性a*a=a）

=(（a*b）*（a*c）=（（a*b）*（c*d））=（a*c）*（b*d）利用) 14．设是代数系统，*是X上的二元运算，R是X上的等价关系。若a，b，

c，d∈X当（a，b）∈R且（c，d）∈R时，有（a*c，b*d）∈R，则称R是X上关于*的同余关系，称R产生的等价类是关于*的同余类。

考察代数系统，I是整数集合，十是整数加法。问以下的元关系是I上的关于十的同余关系吗？

a) R={（x，y）|x，y∈I且（（x＜0且y＜0)或（x≥0且y≥0））} b) {（x，y）|x，y∈I且（（x＜0且|x—y|＜10

c) {（x，y）|x，y∈I且（（x=0且y=0）或（x≠0且y≠0））} d) {（x，y）|x，y∈I且x≥y}

[解] a) 这不是一个同余关系，因为

（-1，-2）∈R且（1，1）∈R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）R。

b) 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和对称的，但不是传递的，例如取x=-8，y=1，z=8，由于| -8-1 | =9＜0，| 1-8 | = 7＜10，故有（-8，1）∈R且（1，8）∈R。但| -8-8 | =6＞10，所以[-8，8]R c) 这不是一个同余关系，因为（-1，-2）∈R且（1，1）∈R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）R

d) 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和传递的，但不是对称的，例如取x=8，y=7，于是有8≥7，从而（8，7）∈R，但7≠8，故（7，8）R。

15．设S={a，b}，X=＜25，∩，∪，＞，Y=〈{0，1}，∧，∨，－〉。

证明：Y是X的同态象。

[证] 如下构造的函数h是一个从X到Y的同态：

h：2→{0，1} h（Ø）=0

h（{a}）=0，h（{b}）=1，h（S）=1 容易验证：h（A∩B）=h（A）∧h（B）

h（A∪B）= h（A）∨h（B）（A，B⊆S） h（A′）=h(A)

并且h显然是满射的，因此Y是X同态象。

16．设R是实数集合，十和X是实数的加法和乘法。X=〈R，+〉，Y=〈R，x〉，问Y

是否是X的同态象。

[答] Y不是X的同态象。否则将存在着从X到Y的满同态函数h，从而对于0∈R，

由h是满射的，可知存在着r0∈R，使h（r0）=0，于是对任何r∈R，由于r-r0=r+（-r0）∈R，所以h（r）=h（r0+（r-r0））={r′| r′∈R∧（Er∈R）（h(r)= r′）} ={0}≠R

17．设N是自然数集合，x是自然数乘法，X=〈N，x〉，Y=〈{0，1}，x〉，证明：Y

是X的同态象。

[证] 如下构造的函数h是一个从X到Y的同态

h：N→{0，1}

h(2n)0h(2n1)1,nN

于是 h（2m³2n）=h（2²2mn）=0=0³0=h（2m）³h（2n）

h（2m³（2n-1））=h（2²m（2n-1））=0=0³1=h（2m）³h（2n-1） h（（2m-1）³（2n-1））=h（2（mn-m-n+1）-1） =1=1³1=h（2m-1）³h（2n-1）所以h满足同态公式，另外h显然是满射，因而Y是X的同态象。

18．设S={a，b，c}，X=〈{ Ø，S}，∩，∪，′〉，Y=〈{a，b}，S，∩，∪，′〉。

问X和Y是否同构，为么？

[答] X和Y不同构。因为Y=〈{{a，b}，S}，∩，∪，′〉不是代数系统，补运算 ′

关于{{a，b}，S}不封闭，这可见下表：

′ {a,b} S 矛盾。

19．设〈X，*〉和〈Y，〉是两个代数系统，*和分别是X和Y上的二元运算，

且满足交换律，结合律。f1和f2都是从〈X，*〉到〈Y，〉的同态函数。令h：X→Y

h（x）=f1（x）f2（x）

证明：h是从〈X，*〉到〈Y，〉的同态函数。

[证] 对于任何a，b∈X，h（a*b）=f1（a*b）f2（a*b）（h的定义） =（f1（a）f1（b））（f2（a）f2（b））（f1和f2是同态函数） =（f1（a）f1（b））（f2（a）f2（b））（的结合律） =（f1（a）f2（a））（f1（b）f2（b））（的结合律） =（f1（a）f2（a））（f1（b）f2（b））（的结合律） =h（a）h（b）（h的定义）

20．设〈X，f1〉，〈Y，f2〉，〈Z，f3〉是三个代数系统。f1，f2，f3分别是X，Y，Z上

的二元运算。证明：若h1是从〈X，f1〉到〈Y，f2〉的同态函数，h2是从〈Y，f2〉到〈Z，f3〉的同态函数，则h2oh1是从〈X，f1〉到〈Z，f3〉的同态函数。 [证] 对于任何x，y∈X，

（h2οh1）（xf1y）= h2（h1（xf1y））

{c} Ø 而如果存在着X和Y的同构，则从X是代数系统，知Y也应该是代数系统，

= h2（h1（x）f2h1（y））（h1是〈X，f1〉到〈Y，f2〉的同态） = h2（h1（x）f3h2（h1（y））（h2是〈X，f2〉到〈Y，f3〉的同态） =（h2οh1）（x）f3（h2 h1）（y）

所以h2οh1是从〈X，f1〉到〈Z，f3〉的同态函数。

21．设〈S，*〉是有限含幺半群。证明：在*的运算表中，任何两行或任何两列均不

相同。

[证] 因为〈S，*〉是有限含幺半群，故可设

s={s0=e，s1，…，sn-1}

则在*的运算表中，对庆于任何si，sj∈s（si≠sj，0≤i，j≤n-1）的两行为：

si*s0，si*s1，…，si*sn-1； sj*s0，sj*s1，…，sj*sn-1

为证此两行互不相同，只需证明（∃k）（0≤k≤n-1∧si * sk≠sj * sk）即可。而这样的k是存在的，只需取k=0即得：

si*s0=si*e=si≠sj=sj*e=sj*s0

从而，由si，sj∈s的任意性，可知，在*运算表中，任何两行均互不相同。关于列的结论，同理可证。

22．设k是一正数，Nk={0，1，2，…，k-1}，*k是Nk上的一个二元运算。a，b∈

Nk，a*kb=（a³b）modk。 a) 当k=6时，写出*6的运算表；

b) 证明：对任意的正整数k，〈Nk，*k〉是半群。 a) [解]

*6 0 1 2 3 4 5

b) [证] 1）*k是Nk上的二元运算

由于0≤（a³b）modk＜k，故a*kbNk，即*k关于Nk封闭，并且运算结果唯一（因为若有i=（a³b）modk，j=（a³b）modk，则0≤k＜k，0≤j＜k，a³b=kr1+i，a³b=kr2+j，于是有kr1+I=kr2+j不妨设ji从而k（r1-r2）=j-i，故此k|j-i，但是0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 ≤j-i＜k（因为j≥i）故只能j-i=0，因此j=i＝。 2）*k满足结合律

因为对于任何a，b，c∈Nk （a *k b）*k c=[（a³b）modk] *k c ={[（a³b）modk] ³c}modk =（（a³b³c））modk ={a³[（b³c）modk]} modk =a*k [（b³c）modk] ==a*k（b*k c）综合1），2）可得〈Nk，*k〉是半群

23．设〈S，*〉是半群，a∈s。在s上定义二元运算如下

x，y∈s，xy=x * a * y

证明：〈S，〉是半群。 [证] （a）是s 上的二元运算

由于〈S，*〉是半群，故*是s上的二元运算，因此*运算具有封闭性和运算结果唯一性。因此由的定义可知具有封闭性和运算结果唯一性。（b）满足结合律对于任何x，y，z∈s （xy）z =（x * a * y）z =（y）* a* z

= x * a *（y * a * z）（*运算的结合律） = x * a *（y  z） =x（y  z）

综合（a），（b）可知〈S，〉是半群。

24．设〈S，*〉是半群。证明：s中至少有一个幂等元。

[证] 因为〈S，*〉是半群，所以*运算具有封闭性，因而可知对于任何元素y∈s，都

有y2=y*y∈s，y3=y2*y∈s,…。又由〈S，*〉是有限的，可知s是有限集，所以存在着j＞i，使得yj=yi，从而令P=j-i，那么就有yi=yj=yp+I=yp*yi，因此可得yi+1=yp*yi+1，…，也就是对任何g≥i，都有yg=yp*yg。所以，从p1总可找到k≥1，使kp≥i。故此，令x=y∈s，则x就是s中的一个幂等元，推证如下：

x * x=ykp * ykp

=（yP+ * y(k-1) p）*ykp（利用上述性质） =y(k-1) p * ykp

=…… =yp * ykp =ykp =x

25．设R是实数集合。在R上定义二元运算*如下 x，y∈R，x*y=x+y+xy

证明：〈R，*〉是含幺半群。

[证] （1）*运算是实数集R上的二元运算。

因为普通实数加法+和乘法³都是封闭的和运算结果唯一的，因此由它们定义的*运算也是封闭的、运算结果唯一。（2）*运算满足结合律。对于任何x，y，z∈R，因为

（x*y）*z=(x*y)+z+(x*y)z=（x+y+xy）+z+（x+y+xy）z

=x+y+z+xy+xz+yz+xyz

(x*y) *z=x+（y*z）+x（y*z）=x+（y+z+yz）+x（y+z+yz）

=x+y+z+xy+xz+yz+xyz

所以（x*y）*z=x（y*z）（3）o∈R为幺元对于任何x∈R 因为

o*x=o+x+o²x=x

x*o=x+o+x²o=x

故此 o*x=x*o=x

综合（1）（2）（3）证得〈R，*〉是含幺半群。

26．设〈S，*〉是可交换半群。证明：x，y∈S，若x，y是幂等元，则有（x*y）*

（x*y）=x*y。

[证] （x*y）*（x*y）=x*（y*x）*y （*可结合） =x*（x*y）*y （*可交换） =（x*x）*（y*y）（*可结合） =x*y （x，y为幂等元） 27．设〈S，*〉是半群。，y∈s，若x≠y，则x*y≠y*x。证明：

a) x∈s，有x*x=x b) x，y∈s，有x*y*x=x； c) x，z∈s，有x*y*z=x*z；

[证] 对任何x，y∈s若x*y=y*x，则x=y（否则x≠y，于是x*y≠y*x，矛盾）。 a) 对任何x∈s，因为（x*x）*x=x*（x*x）（*可结合）所以 x*x=x

b) 对任何x，y∈s，（x*y*x）*x

=x*y*（x*x）（*可结合） =x*y*x （由a）） =（x*x）*y*x （由a）） =x*（x*y*x）（*可结合）

所以 x*y*x=x

c) 对任何x，y，z∈s，有（x*y*z）*（x*z） =x*y*（z*x*z）（*可结合） =x*y*z （由b）） =（x*z*x）*y*z（由b）） =（x*z）*（x*y*z）（*可结合）

所以 x*y*z=x*z

28．设〈S，*〉是半群。证明：x，y，z∈s，若x*z=z*x且

y*z=z*y，则（x*y）*z=z*（x*y）。

[证] 对任何x，y，x∈s （x*y）*z

=x*（y*z）（*可结合） =x*（z*y）（y与z可交换） =（x*z）*y （*可结合） =（z*x）*y （x与z可交换） =z*（x*y）（*可结合） 29．设〈{x，y}，*〉是半群，x*x=y。证明：

a) x*y=y*x； b) y*y=y。

[证] a) x*y = x*（x*x）（因x*x=y）

=（x*x）*x （*可结合） =y*x （因x*x=y）

b) y*y=（x*x）*y （因x*x=y） =x*（x*y）（*可结合）根据*运算的封闭性，可知x*y=x或者x*y=y 若 x*y=x，则y*y=x* （x*y）

=x*x （由x*y=x） =y （由x*x=y）若 x*y=y，则y*y=x*（x*y） =x*y（由x*y=y） =y（由x*y=y）因此无论如何，y*y=y 。

30．〈S，*〉是半群。若有a∈s，x∈s，∃u，Q∈S，使得

a*u=v*a=x

证明：〈S，*〉是含幺半群。

[证] 只需证明半群〈S，*〉中含有幺元即可。

取x= a，那么，存在ua，va∈s，使a*ua=va*a=a 对于s中任一元素b，那么存在u b，vb∈s，使得 a*ub=vb*a=b

于是 bua=（vb*a）*ua （因vb*a=b） =vb（a*ua）（*可结合） =vb*a （因aua=a） =b （因ub*a=b）所以ua是右幺元。

并且 vab=va*（a*ub）（因a*ub=b） =（va*a）*ub（*可结合） =a*ub （因ua*a=a） =b （因a*ub=b）所以va是左幺元。但是

将b*ua=b中的b取为ua，则有va* ua =va；将ua*b=b中的b取为ua，则有va*ua=ua；

故此，可得 ua=va。所ua（=va）是〈S，*〉的幺元。从而，〈S，*〉是含幺半群。

31．设〈S，*〉是含幺半群。Zs，z是关于*的左零元。证明：x∈s，x*z也是关于*

的左零元。

[证] 由于z是关于*的左零元，所以对于任意a∈s，都有

z * a=z

因而对任何x∈s，对任何a∈s，都有（x*z）*a=x*（z*a）（*可结合）

=x*z（z为左零元，z*a=z）这说明x*z也为左零元。

32．设〈S，*〉是含幺半群。Ss={f | f :s→s}，）ο是函数的合成运算。

a) 证明：〈S ，*〉是半群；

b) 证明：存在从〈S，*〉到〈Ss，ο〉的同态函数。

[证] a) 由于ο是函数的合成运算，而Ss={f | f:s→s}是所有从s到s的函数的集合，因

此ο运算封闭且运算结果唯一；并且ο运算当然具有结合律，故此〈S s，ο〉是一半群。

b) 令h : s→s，对于所有的a∈s

h（a）=fa；这时fa : s→s，对于任何x∈s 有fa（a）=a*x

由于〈S，*〉是半群，故*是s上的二元运算。因此*运算封闭，且运算结果唯一，因此如上定义的fa后者唯一，是从s到s的函数，即fass。因此h的定义是良定义的。

对于任何a，b∈s h（a*b）=fa*b而对于任何x∈s，（x）fa*b（x） =（a*b）*x

=a*（b*x）（*的结合律） = a*（fb（x）） = fa（fb（x）） =（faοfb）（x）

所以，有 fa*b= faοfb，因此，h（a*b）=faοfb=h（a）οh（b）。故此h满足同态公式。

因而存在从到〈Ss，ο〉的同态函数。

33．设f是从半群〈X，*〉到〈Y，〉的同态函数，证明：若x是X中的幂等元，

则Y中也存在幂等元。

[证] 由于f（x）f（x）=f（x*x）（f是同态函数，满足同态公式）

=f（x）（因x是幂等元，故x*x=x）

且f（x）∈Y，故此f（x）是Y中的幂等元。即Y中也存在幂等元。 34．设f是从半群〈X，*〉到〈Y，〉的同态函数，问下列结论是否为真。 a) 〈X，*〉在f下的同态象是〈Y，〉的子代数系统； b) 〈X，*〉在f下的同态象是半群；

c) 若〈X，*〉是含幺交换半群，则〈X，*〉在f下的同态象也是含幺可交换半

群。

[解] a) 真。因为1）f（X）⊆Y。这点是根据事实f : X→Y得出的。2）集合f（X）

在运算下是封闭的，即，如果a，b∈f（X），那么ab∈f（X）。因为若a，b∈f f（X），那么存在着x，y∈X，使得f（x）=a且f（y）=b。进一步，由X在*运算下封闭（因〈X，*〉为半群）可知存在着某一z∈X，使z=x*y因此

ab=f（x）f（y）

=f（x*y）（f是同态函数，满足同态公式） =f（z） ∈f（Ｘ）

运算结果的唯一性是自动遗传，因为〈Y，〉至少是一代数系统，故

应是Y上的二元运算，具有运算结果唯一性。

故由1）和2），可知〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），〉是〈Y，〉的子代数系统。

b) 真。因为3）运算在集合f（X）上满足结合律，即，如果a、b、c∈f（X），那么（ab）c=a（bc）。因若a，b，c∈f（X），那么存在着x，y，z∈X，使f（x）=a且f（y）=b及f（z）=c，故此（ab）c=（f（x）f（y））f（z）

=f（x*y）f（z）（f满足同态公式） =f（（x*y）*z）（f满足同态公式）

=f（x*（y*z））（〈X，*〉为半群，*运算有结合律） =f（x）f（y*z）（f满足同态公式）

+f（z）=f（x）（f（y）○）（f满足同态公式）

=a（bc）

于是由a)的1），2）及这里的3），可知〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），〉是半群。

c) 真。因为4）〈f（X），〉含有幺元，即若e∈X是含幺半群〈X，*〉的幺元，那么f（e）∈f（X）就是〈f（X），〉的幺元。因为对任何a∈f（X），存在着x∈X，使f（x）=a，故此

af（e）=f（x）f（e）

=f（x*e）（f满足同态公式） =f（x）（x*e=x） =a

同理可证f（e）a=a，因而af（e）=f（e）a=a。5）运算在f（X）上满足

交换律，即，对任何a，b∈f（X），都有ab=ba。因若a，b∈f（X）则存在着x，y∈X，使f（x）=a且f（y）=b，因此

ab=f（x）f（y）

=f（x*y）（f满足同态公式）

=f（y*x）（〈X，*〉是含幺可交换半群，故*有交换律） =f（y）f（x）（f满足同态公式） =ba

综合a) 的1） 2），b）的3），和这里的4）和5），可知，若〈X，*〉是含幺可交换半群，则〈X，*〉在f下的同态象〈f（X），〉也是含幺可交换半群。 35．设N6={0，1，2，3，4，5}，N6上的+6运算定义如下

a，b∈N6，a+6b=（a+b）mod6

求了半群〈N6，+6〉的运算表如下：

+6 0 0 1 2 3 4 5

从运算表看出〈N6，+6〉是一循环半群，生成元是1，5。因而除两个平凡子半群〈{0}，+6〉及〈N6，+6〉外，任何包含1或5的子集都不能构成真子半群。所以考虑{0，2，3，4}的子集，由于2+63=5，3+=1，故此任何包含2或4的子集中不能包含3。另外2+62=4，3+63=0，4+=2，故此单元素集上运算+6不封闭。因而〈N6，+6〉的真子半群只有二个〈{0，3}，+6〉及〈{0，2，4}，+6〉，它们的运算表如下：

0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 19

+6 0 0 0 3 3 3 3 0 +6 0 0 2 4 0 2 4 2 2 4 0 4 4 0 2 群，但不

36．证明：含幺半群的子半群可以是一个含幺半

是子含幺半群。

[证] 〈N6，+6〉是一个含幺半群，其幺元为1。运算表如下：

X6 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 〈{4，2}，x6〉是〈N6，+6〉的子半群，并且是含幺半群，其幺元为4 运算为但是它不是〈N6，+6〉的子含幺半群，因为〈N6，+6〉的幺元| ∉{4，2}。

x6 4 2

幺元不遗传 4 42 37．设〈S，*〉是含幺半群，幺元为e

2 2 4 S={x| x∈S1且∃y（y*x）=e}

证明：〈S1，*〉是〈S1，*〉的子含幺半群。

[证] 1）集合S1在运算*下是封闭的，即，若x1，x2∈S1，则x1*x2∈S1。因若x1，x2

∈S1则x1，x2∈S，存在着y1，y2使y1*x1=e，y2*x2=e。于是有x1*x2∈S（S在*运算下封闭，因〈S，*〉是半群），并且存在着z=y2*y1，使

z*（x1*x2）=（y2*y1）（x1*x2）

=y2*（y1*x1）*x2 （的结合律） =y2*（e*x2）

=y2*x2（e是幺元，e*x2=x2） =e

故此x1*x2∈s。

2）*运算在S1上满足结合律，这点由*运算在S上的结合律遗传而来。 3）〈S1，*〉含有〈S，*〉的幺元e。因为e∈S，且存在着e使e*e=e，所以e∈

S1。