2013届高三数学一轮复习单元综合测试(浙江版)单元十二

[考查范围：第十二单元 选修系列4] 时间：120分钟 分值：150分

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

5π

2，－，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为1．已知极坐标平面内的点P3( )

π

2，，(1，3) A.3

π

2，－，(1，－3) B.3

2π

2，，(－1，3) C.3

2π

2，－，(－1，－3) D.3

2．下列各式中，最小值等于2的是( )

xyA.＋ yxB.x2＋5 x2＋4

1

C．tanθ＋ tanθD．2x＋2x

－

π

3．直线ρcosθ＝2关于直线θ＝对称的直线方程为( )

4

A．ρcosθ＝－2 B．ρsinθ＝2 C．ρsinθ＝－2

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D．ρ＝2sinθ

4．若a，b∈R＋且a≠b，M＝ab

＋，N＝a＋b，则M与N的大小关系是( ) ba

A．M>N B．Mx＝－1－25．已知直线l的参数方程为

2t，

，则直线l的斜率为( y＝2＋2

2

t

(t为参数)A．1 B．－1 C.22 D．－2

2

6．设x>0，y>0，A＝x＋yxy

1＋x＋y，B＝1＋x＋1＋y

，则A，B的大小关系是( )

A．A＝B B．AB

7．参数方程x＝sint＋1，



y＝2sint＋1

(t为参数)的普通方程为( )

A．y＝2x－1(0≤x≤2) B．y＝2x－2(0≤x≤2) C．y＝2x－1(－1≤x≤1) D．y＝2x－2(－1≤x≤1)

8．直线：3x－4y－9＝0与圆：x＝2cosθ，



y＝2sinθ，

(θ为参数)的位置关系是( )

A．相切

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)

B．相离 C．直线过圆心 D．相交但不过圆心

9．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是( )

332A.

223B. 33

C.3 22D.2 3

π

2，到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( ) 10．在极坐标系中，点3A．2 B.π24＋ 9π21＋ 9

C.D.3

二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答题卡相应位置) 11．解关于x的不等式：

2x－1

x<3的解集是________．

12．若2x＋3y＝1，则4x2＋9y2的最小值为________．

13．若a，b，c，d是正数，且满足a＋b＋c＋d＝4，用M表示a＋b＋c，a＋b＋d，a＋c＋ d，b＋c＋d中的最大者，则M的最小值为________．

π

θ＋＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 14．在极坐标系中，直线ρsin4

15．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分

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x＝3＋cosθ， 别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________． y＝sinθ

16．从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP ＝12，则点P的轨迹方程为________．

17．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝25，则a2＋2b2＋c2的最小值为________．

三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知函数f(x)＝|x－a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

19.(14分)已知实数m，n>0.

a2b2a＋b

(1)求证：＋≥；

mnm＋n

291

(2)求函数y＝＋x∈0，的最小值．

x1－2x2

x＝2cosα，

20．(14分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)

y＝2＋2sinα.

2

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→→

M是C1上的动点，P点满足OP＝2OM，P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的参数方程；

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

π

射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

3

x＝2cosθ，

21.(15分)已知曲线C：(θ为参数)，F为曲线C的右焦点．过点M(0,1)作直线

y＝3sinθ

l交曲线C于A，B两点，若

111

成等差数列． 2，2，|AM||FM||BM|2

S△AFM

(1)求|FM|的值；(2)求的值．

S△BFM

x3n22．(15分)数列{xn}中，xn＋1＝xn－(n∈N*)，x1＝1，证明：03. n＋2

单元能力检测(十二)参

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5π5π2π

2，－关于极点的对称点为2，－＋π，即2，－，且x＝1．D [解析] 点P3332ππ

－＝－2cos＝－1， 2cos33

y＝2sin

－2ππ

＝－2sin＝－3，所以选D.

33

－

－

－2．D [解析] ∵2x>0,2x>0，∴2x＋2x≥22x2x＝2.

3．B [解析] ∵直线x＝2关于直线y＝x的对称直线是y＝2，∴ρsinθ＝2. 4．A [解析] ∵a≠b，∴ab

＋b>2a，＋a>2b， ba

∴

abab

＋b＋＋a>2b＋2a，即＋>b＋a. baba

5.B [解析] 直线l的参数方程可化为3π

y＝2＋tsin，4

－1.

3πx＝－1＋tcos，

4

3π

故直线l的斜率为tan＝

4

x＋yxyxy

6．B [解析] B＝＋>＋＝＝A，即A1＋x1＋y1＋x＋y1＋y＋x1＋x＋y7．A

8．D [解析] 圆的普通方程为x2＋y2＝4，∴圆心坐标为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线3x－4y－9＝0的距离为d＝选D.

11xx1

9．A [解析] 由logxy＝－2得y＝2，而x＋y＝x＋2＝＋＋2≥

xx22x3xx131332

3··＝3＝. 22x242

|－9|

9

＝＜2，∴直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上，故2253＋4

π

2，的直角坐标为10．D [解析] 点3



π

x＝ρcosθ＝2cos＝1，

3

π

y＝ρsinθ＝2sin＝3.

3

圆ρ＝2cosθ 的直角

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坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圆心(1,0)到点(1，3)的距离为3.

1|2x－1|2x－1

x<－1或x> [解析] 方法一：11.x<3⇔<3，将之视为多个绝对值问5|x|x1

题，将数轴按0，分成三段：

2

x<0，0或2x－1

－2x＋1<3xx<3

1

x>2，

或2x－1x<3.1

111

∴x<－1或.

522

1

x<－1或x>. ∴所求不等式的解集为x5





方法二：

|2x－1|2x－1<3⇔<3，∵x≠0，∴|x|>0，不等式两边同乘|x|，得|2x－1|<3|x|，

|x|x两边再平方，得(2x－1)2<(3x)2，

1

x－>0. 即(x＋1)51

|x<－1或x>. ∴该一元二次不等式的解集即原不等式的解集为x5





1

12. [解析] 由柯西不等式(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4， 212x3y

∴4x2＋9y2≥.当且仅当＝，即2x＝3y时取等号．

222

2x＝3y，

由2x＋3y＝1，

x＝4，得1

y＝6，1

1

于是4x2＋9y2的最小值为.

2

13

13．3 [解析] M≥(a＋b＋c＋a＋b＋d＋a＋c＋d＋b＋c＋d)＝(a＋b＋c＋d)＝3，即

44Mmin＝3.

π

θ＋＝2可化为x＋y－22＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝14．43 [解析] 直线ρsin416，

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由圆中的弦长公式得2r2－d2＝2

42－

|－22|2

＝43.

2

x＝3＋cosθ，15．1 [解析] 由C1：消参得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，y＝sinθ

两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB|≥1，最小值为1.

16．ρ＝3cosθ

17．8 [解析] 由柯西不等式，得(a2＋2b2＋c2)12＋

22

＋12≥(a＋b＋c)2，∵a＋b＋2



5a2bc

c＝25，∴(a2＋2b2＋c2)·≥(25)2，∴a2＋2b2＋c2≥8，当且仅当＝＝，即a＝2b＝c

2121

245＝时，a2＋2b2＋c2取最小值8.

5

18．[解答] 解法一：(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，

a－3＝－1，所以解得a＝2.

a＋3＝5，

(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是

－2x－1，x<－3，

g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝5，－3≤x≤2，

2x＋1，x>2，

所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5； 当x＞2时，g(x)＞5. 综上可得，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立， 所以m的取值范围为(－∞，5]． 解法二：(1)同解法一．

(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，

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由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时，等号成立)得，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]． 19．[解答] (1)证明：因为m，n>0，利用柯西不等式，得

22222aba＋bab2(m＋n)m＋n≥(a＋b)，所以m＋n≥m＋n.

2＋32292232

(2)由(1)，函数y＝＋＝＋≥＝25，

x1－2x2x1－2x2x＋1－2x

2911

0，的最小值为25，当且仅当x＝时取得． 所以函数y＝＋x∈

x1－2x25xy20．[解答] (1)设P(x，y)，则由条件知M2，2，

由于M点在C上，所以y

2＝2＋2sinα，

1

x

＝2cosα，2

x＝4cosα，即 y＝4＋4sinα.

x＝4cosα，

从而C2的参数方程为(α为参数)

y＝4＋4sinα.

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ. ππ

射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，

33ππ

射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin. 33所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝23.

x2y2

21．[解答] (1)曲线C的普通方程为＋＝1，焦点F(1,0)．|FM|＝2.

43

x＝tcosα，

(2)直线l的参数方程为：(α为倾斜角，t为参数)．代入曲线C方程得：

y＝1＋tsinα，

3(tcosα)2＋4(1＋tsinα)2＝12，即(3cos2α＋4sin2α)t2＋8tsinα－8＝0.

8sinα8

t1＋t2＝－. 22，t1t2＝－23cosα＋4sinα3cosα＋4sin2α

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t1＋t22－2t1t2112

由于＋＝，所以＝1，

|AM|2|BM|2|FM|2t1t22故sin2α＋16(3cos2α＋4sin2α)＝(sin2α＋cos2α)， 1化简可得tanα＝±.

255

∴t1＋t2＝±，t1t2＝－.

22

t＝5，t＝－5，5511t1＝－，t1＝，

22解得或或 5或5

t2＝－2t2＝2t2＝5，t2＝－5，∴

S△AFM1＝2或.

2S△BFM

3

，命题成立． 1＋2

22．[解答] 证明：(1)当n＝1时，01，k∈N*)时命题成立， 即03， k＋2

要证n＝k＋1时命题成立， 即证03， k＋33， k＋3

3， k＋2

x3

构造函数f(x)＝x－，06

x2

由f′(x)＝1－>0得，－22

∴f(x)在[－2，2]上是单调增函数，而k≥1时，3

≤1. k＋2

∴f(x)在0，

3

上是单调增函数． k＋23＝k＋2

31－k＋26

332k＋3＝

k＋22k＋4

3， k＋2

∴f(x)≤f



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显然，要证n＝k＋1时命题成立， 2k＋3只要证

2k＋4

3≤k＋2

3， k＋3

即证(2k＋3)2(k＋3)≤(2k＋4)2(k＋2)， 也即45k＋27≤48k＋32，

此不等式显然成立，∴n＝k＋1时命题成立． 由(1)(2)知，n∈N*时，命题成立．

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