导数的引进与定义

一、导数的引进

（1）直线运动的速度；（2）切线问题。 二、导数的定义及几何意义

通过对上面两个实际例子的考察，可以发现，需要我们求出，当自变量的改变量趋于零时，函数的改变量和相应的自变量的改变量之比的极限。我们把这种具有特定意义的极限称作函数的导数，也叫做函数的变化率。它的定义可叙述如下：

定义：设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点x0x仍在该领域内）时，相应地函数y取得增量

yf(x0x)f(x0)；如果y与x之比当x0时的极限存在，则称函数

yf(x)在x0处可导，并称这个极限为函数yf(x)在点x0处的导数（也叫微

商），记为f'(x0)（或y,dydf,）,即 dxdxf'(x0)limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x导数的定义式也可取不同的形式,常见的有

f(x0h)f(x0)f(x)f(x0)和f'(x0)lim

xx0hxx0f'(x0)limh0注（1）在上面的表达式中，若极限不存在，则说函数yfx在点x0处不可导。

（2）由函数在一点处的导数的概念可以引导出导函数的fx的概念。 （3）函数在一点处的导数就是其导函数在该点处的函数值。 （4）导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。

下面我们给出单侧导数的概念： 左导数：f(x0)limx0f(x0x)f(x0)ylim xx0xf(x0x)f(x0)ylim xx0x右导数：f(x0)limx0注：（1）按照极限存在的意义，函数yf(x)在点x0处可导必须而且仅须左导数和右导数都存在而且相等。（一般情况下，它们不一定相等）。

（2）（函数可导与连续的关系） 函数yf(x)在点x0处可导则必连续，反之不然（例如函数yx在x0处连续但不可导）。即可导是连续的充分条件。但连续只是可导的必要条件。

若fx在a,b内每一点都可导，则称fx在a,b内可导

若fx在a,b内可导，且fa,fb都存在，则称fx在a,b内可导。 本节最后，我们给出导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数是指曲线yf(x)在点x0的切线的斜率。

'曲线yf(x)在点(x0,y0)处切线yy，法线方程为f(x0x)00)(xyy01(xx0)。 'f(x0)三 求导数举例（根据导数的定义进行求解）

例1：求函数yf(x)x的导数

例2：求函数yf(x)x2的导数；并求x4时的导数。

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在点(,2)处的切线的斜率，并写出在该点处的切x2

例3：求等边双曲线y线方程和法线方程。

例4：求曲线yx的通过点0,4的切线方程。

例5：函数yfx3x在区间(,)内连续，但在点x0处不可导。 例6：函数yx2在(,)内连续，但在x0处不可导。

321xsin,x0例7：函数f(x)在x0处连续但不可导。 x0,x0x2,x0例8：f(x)在x0处可导，求a,b。

axb,x0